Номер 20.45, страница 196 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.45. Объём правильной треугольной призмы равен V. Найдите объём цилиндра, вписанного в данную призму.

Пусть сторона основания правильной треугольной призмы равна $a$, а её высота — $h$. Объём призмы $V$ определяется произведением площади основания $S_{пр}$ на высоту $h$.

Основанием призмы является равносторонний треугольник, его площадь вычисляется по формуле:

$S_{пр} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Тогда объём призмы равен:

$V = S_{пр} \cdot h = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}h$

Цилиндр, вписанный в данную призму, имеет такую же высоту $h$. Его основание — это круг, вписанный в равносторонний треугольник, служащий основанием призмы.

Радиус $r$ круга, вписанного в равносторонний треугольник со стороной $a$, находится по формуле:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

Площадь основания цилиндра $S_{цил}$ равна:

$S_{цил} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2 = \pi \frac{3a^2}{36} = \frac{\pi a^2}{12}$

Объём вписанного цилиндра $V_{цил}$ равен:

$V_{цил} = S_{цил} \cdot h = \frac{\pi a^2}{12}h$

Чтобы найти объём цилиндра через объём призмы $V$, найдём отношение их объёмов:

$\frac{V_{цил}}{V} = \frac{\frac{\pi a^2 h}{12}}{\frac{a^2\sqrt{3}h}{4}}$

Сократим общие множители $a^2$ и $h$:

$\frac{V_{цил}}{V} = \frac{\pi/12}{\sqrt{3}/4} = \frac{\pi}{12} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\pi}{12\sqrt{3}} = \frac{\pi}{3\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\frac{\pi}{3\sqrt{3}} = \frac{\pi\sqrt{3}}{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\pi\sqrt{3}}{9}$

Таким образом, $\frac{V_{цил}}{V} = \frac{\pi\sqrt{3}}{9}$. Отсюда выражаем объём цилиндра:

$V_{цил} = V \cdot \frac{\pi\sqrt{3}}{9}$

Ответ: $\frac{\pi\sqrt{3}}{9}V$.