Номер 20.44, страница 196 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.44. Две параллельные плоскости пересекают шар радиуса 13 см. Радиусы кругов, образовавшихся в сечении, равны 5 см и 12 см. Найдите объём шарового слоя, ограниченного этими кругами.

Для решения задачи нам понадобится формула объёма шарового слоя:$V = \frac{1}{6} \pi h (h^2 + 3r_1^2 + 3r_2^2)$, где $h$ — высота шарового слоя (расстояние между параллельными плоскостями), а $r_1$ и $r_2$ — радиусы оснований слоя (кругов в сечении).

По условию, радиус шара $R = 13$ см, а радиусы сечений $r_1 = 5$ см и $r_2 = 12$ см.

Сначала найдём расстояния от центра шара до каждой из плоскостей. Рассмотрим осевое сечение шара, которое перпендикулярно секущим плоскостям. В этом сечении шар представляет собой окружность радиуса $R$, а сечения — хорды. Расстояние от центра шара до плоскости, радиус шара и радиус сечения образуют прямоугольный треугольник, где радиус шара является гипотенузой.

Пусть $d_1$ — расстояние от центра шара до плоскости с радиусом сечения $r_1 = 5$ см. По теореме Пифагора:$d_1^2 + r_1^2 = R^2$$d_1 = \sqrt{R^2 - r_1^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.

Пусть $d_2$ — расстояние от центра шара до плоскости с радиусом сечения $r_2 = 12$ см. По теореме Пифагора:$d_2^2 + r_2^2 = R^2$$d_2 = \sqrt{R^2 - r_2^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$ см.

Существует два возможных случая расположения секущих плоскостей относительно центра шара.

Случай 1: Плоскости расположены по одну сторону от центра шара.

В этом случае высота шарового слоя $h$ равна разности расстояний от центра шара до плоскостей:$h_1 = d_1 - d_2 = 12 - 5 = 7$ см.

Теперь вычислим объём шарового слоя по формуле:$V_1 = \frac{1}{6} \pi h_1 (h_1^2 + 3r_1^2 + 3r_2^2)$$V_1 = \frac{1}{6} \pi \cdot 7 (7^2 + 3 \cdot 5^2 + 3 \cdot 12^2) = \frac{7\pi}{6} (49 + 3 \cdot 25 + 3 \cdot 144) = \frac{7\pi}{6} (49 + 75 + 432) = \frac{7\pi}{6} (556) = \frac{3892\pi}{6} = \frac{1946\pi}{3}$ см³.

Ответ: $\frac{1946\pi}{3}$ см³.

Случай 2: Плоскости расположены по разные стороны от центра шара.

В этом случае высота шарового слоя $h$ равна сумме расстояний от центра шара до плоскостей:$h_2 = d_1 + d_2 = 12 + 5 = 17$ см.

Вычислим объём шарового слоя для этого случая:$V_2 = \frac{1}{6} \pi h_2 (h_2^2 + 3r_1^2 + 3r_2^2)$$V_2 = \frac{1}{6} \pi \cdot 17 (17^2 + 3 \cdot 5^2 + 3 \cdot 12^2) = \frac{17\pi}{6} (289 + 3 \cdot 25 + 3 \cdot 144) = \frac{17\pi}{6} (289 + 75 + 432) = \frac{17\pi}{6} (796) = \frac{13532\pi}{6} = \frac{6766\pi}{3}$ см³.

Ответ: $\frac{6766\pi}{3}$ см³.