Номер 20.46, страница 196 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.46. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, параллельные стороны которой равны 2 см и 8 см. Диагональ призмы равна $3\sqrt{10}$ см. Найдите объём цилиндра, вписанного в данную призму.

Пусть основанием прямой призмы является равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=a=8$ см и $BC=b=2$ см. Поскольку в призму вписан цилиндр, в ее основание (трапецию) можно вписать окружность, которая будет являться основанием цилиндра.

Для того чтобы в четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин его противолежащих сторон были равны. Для равнобокой трапеции с боковыми сторонами $c$ это условие выглядит так: $a + b = c + c \implies a + b = 2c$

Подставим известные значения длин оснований: $8 + 2 = 2c$ $10 = 2c$ $c = 5$ см.

Высота вписанного цилиндра $H$ совпадает с высотой призмы, а радиус его основания $r$ равен радиусу окружности, вписанной в трапецию. Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен половине ее высоты $h_{trap}$. Таким образом, $r = h_{trap} / 2$.

Найдем высоту трапеции $h_{trap}$. Опустим из вершины $B$ перпендикуляр $BK$ на основание $AD$. В равнобокой трапеции длина отрезка $AK$ равна полуразности оснований: $AK = \frac{a-b}{2} = \frac{8-2}{2} = 3$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABK$. По теореме Пифагора найдем высоту $BK=h_{trap}$: $h_{trap}^2 = AB^2 - AK^2 = c^2 - AK^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$ $h_{trap} = \sqrt{16} = 4$ см.

Теперь можно найти радиус основания цилиндра: $r = \frac{h_{trap}}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Для нахождения объема цилиндра необходимо найти его высоту $H$, которая равна высоте призмы. Квадрат диагонали прямой призмы $D$ равен сумме квадрата ее высоты $H$ и квадрата диагонали ее основания $d$: $D^2 = H^2 + d^2$

Найдем квадрат диагонали трапеции $d^2 = AC^2$. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник $ACK'$, где $CK'$ — высота трапеции ($CK' = h_{trap} = 4$ см). Отрезок $AK'$ равен: $AK' = AD - K'D = a - \frac{a-b}{2} = 8 - 3 = 5$ см.

По теореме Пифагора для треугольника $ACK'$: $d^2 = AC^2 = (AK')^2 + (CK')^2 = 5^2 + 4^2 = 25 + 16 = 41$.

Теперь найдем высоту призмы $H$, используя данную диагональ призмы $D=3\sqrt{10}$ см: $(3\sqrt{10})^2 = H^2 + 41$ $9 \cdot 10 = H^2 + 41$ $90 = H^2 + 41$ $H^2 = 90 - 41 = 49$ $H = \sqrt{49} = 7$ см.

Высота цилиндра равна высоте призмы, то есть $H_{cyl} = 7$ см. Объем цилиндра вычисляется по формуле $V_{cyl} = \pi r^2 H_{cyl}$. Подставим найденные значения $r=2$ см и $H_{cyl}=7$ см: $V_{cyl} = \pi \cdot 2^2 \cdot 7 = \pi \cdot 4 \cdot 7 = 28\pi$ см$^3$.

Ответ: $28\pi$ см$^3$.