Номер 20.52, страница 196 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.52. В усечённый конус вписан шар, радиус которого равен $r$. Диаметр большего основания усечённого конуса виден из центра вписанного шара под углом $\alpha$. Найдите объём усечённого конуса.

Обозначим радиус большего основания усечённого конуса как $R$, радиус меньшего основания как $R_1$, а высоту как $H$. Объём усечённого конуса вычисляется по формуле:$V = \frac{1}{3} \pi H (R^2 + R R_1 + R_1^2)$

Поскольку в усечённый конус вписан шар радиуса $r$, то его центр лежит на оси конуса на одинаковом расстоянии $r$ от обоих оснований. Следовательно, высота усечённого конуса равна диаметру вписанного шара: $H = 2r$.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Это равнобедренная трапеция, в которую вписана окружность радиуса $r$. Пусть $O$ — центр шара (и вписанной окружности). По условию, диаметр большего основания виден из точки $O$ под углом $\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом большего основания $R$, отрезком от центра шара до центра большего основания (длиной $r$) и отрезком, соединяющим центр шара с точкой на окружности большего основания. Катеты этого треугольника равны $R$ и $r$. Угол при вершине $O$, противолежащий катету $R$, равен половине угла $\alpha$, то есть $\frac{\alpha}{2}$.

Из соотношений в этом прямоугольном треугольнике имеем:$\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{R}{r}$Отсюда выражаем радиус большего основания:$R = r \tan(\frac{\alpha}{2})$

Для усечённого конуса, в который можно вписать шар, существует свойство, связывающее радиусы его оснований и радиус вписанного шара. Это свойство вытекает из того, что в осевое сечение (равнобедренную трапецию) можно вписать окружность. Для такой трапеции сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Пусть $L$ — образующая конуса (боковая сторона трапеции). Тогда $2R + 2R_1 = 2L$, или $L = R + R_1$.

Рассмотрим другой прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H=2r$, образующей $L$ и разностью радиусов $R-R_1$. По теореме Пифагора:$L^2 = H^2 + (R - R_1)^2$Подставим в это уравнение $L = R + R_1$ и $H=2r$:$(R + R_1)^2 = (2r)^2 + (R - R_1)^2$$R^2 + 2RR_1 + R_1^2 = 4r^2 + R^2 - 2RR_1 + R_1^2$$4RR_1 = 4r^2$$RR_1 = r^2$

Теперь мы можем найти радиус меньшего основания $R_1$:$R_1 = \frac{r^2}{R} = \frac{r^2}{r \tan(\frac{\alpha}{2})} = r \cot(\frac{\alpha}{2})$

Подставим найденные значения $H$, $R$, $R_1$ и $RR_1$ в формулу объёма усечённого конуса:$V = \frac{1}{3} \pi (2r) \left( (r \tan(\frac{\alpha}{2}))^2 + r^2 + (r \cot(\frac{\alpha}{2}))^2 \right)$$V = \frac{2}{3} \pi r \cdot r^2 \left( \tan^2(\frac{\alpha}{2}) + 1 + \cot^2(\frac{\alpha}{2}) \right)$$V = \frac{2}{3} \pi r^3 \left( \tan^2(\frac{\alpha}{2}) + 1 + \cot^2(\frac{\alpha}{2}) \right)$

Упростим тригонометрическое выражение в скобках. Воспользуемся тем, что $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ и $1 + \cot^2 x = \csc^2 x$.$\tan^2(\frac{\alpha}{2}) + 1 + \cot^2(\frac{\alpha}{2}) = (\tan^2(\frac{\alpha}{2}) + \cot^2(\frac{\alpha}{2}) + 2) - 1 = (\tan(\frac{\alpha}{2}) + \cot(\frac{\alpha}{2}))^2 - 1$Преобразуем сумму тангенса и котангенса:$\tan(\frac{\alpha}{2}) + \cot(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\sin(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\frac{\alpha}{2})} + \frac{\cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{\sin^2(\frac{\alpha}{2}) + \cos^2(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{1}{\frac{1}{2}\sin\alpha} = \frac{2}{\sin\alpha}$Тогда искомое выражение равно:$\left( \frac{2}{\sin\alpha} \right)^2 - 1 = \frac{4}{\sin^2\alpha} - 1 = \frac{4 - \sin^2\alpha}{\sin^2\alpha}$Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получим:$\frac{4 - (1 - \cos^2\alpha)}{\sin^2\alpha} = \frac{3 + \cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}$

Теперь подставим упрощенное выражение обратно в формулу для объёма:$V = \frac{2}{3} \pi r^3 \left( \frac{3 + \cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} \right)$

Ответ: $V = \frac{2\pi r^3 (3 + \cos^2\alpha)}{3\sin^2\alpha}$