Страница 196 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.44. Две параллельные плоскости пересекают шар радиуса 13 см. Радиусы кругов, образовавшихся в сечении, равны 5 см и 12 см. Найдите объём шарового слоя, ограниченного этими кругами.

Для решения задачи нам понадобится формула объёма шарового слоя:$V = \frac{1}{6} \pi h (h^2 + 3r_1^2 + 3r_2^2)$, где $h$ — высота шарового слоя (расстояние между параллельными плоскостями), а $r_1$ и $r_2$ — радиусы оснований слоя (кругов в сечении).

По условию, радиус шара $R = 13$ см, а радиусы сечений $r_1 = 5$ см и $r_2 = 12$ см.

Сначала найдём расстояния от центра шара до каждой из плоскостей. Рассмотрим осевое сечение шара, которое перпендикулярно секущим плоскостям. В этом сечении шар представляет собой окружность радиуса $R$, а сечения — хорды. Расстояние от центра шара до плоскости, радиус шара и радиус сечения образуют прямоугольный треугольник, где радиус шара является гипотенузой.

Пусть $d_1$ — расстояние от центра шара до плоскости с радиусом сечения $r_1 = 5$ см. По теореме Пифагора:$d_1^2 + r_1^2 = R^2$$d_1 = \sqrt{R^2 - r_1^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.

Пусть $d_2$ — расстояние от центра шара до плоскости с радиусом сечения $r_2 = 12$ см. По теореме Пифагора:$d_2^2 + r_2^2 = R^2$$d_2 = \sqrt{R^2 - r_2^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$ см.

Существует два возможных случая расположения секущих плоскостей относительно центра шара.

Случай 1: Плоскости расположены по одну сторону от центра шара.

В этом случае высота шарового слоя $h$ равна разности расстояний от центра шара до плоскостей:$h_1 = d_1 - d_2 = 12 - 5 = 7$ см.

Теперь вычислим объём шарового слоя по формуле:$V_1 = \frac{1}{6} \pi h_1 (h_1^2 + 3r_1^2 + 3r_2^2)$$V_1 = \frac{1}{6} \pi \cdot 7 (7^2 + 3 \cdot 5^2 + 3 \cdot 12^2) = \frac{7\pi}{6} (49 + 3 \cdot 25 + 3 \cdot 144) = \frac{7\pi}{6} (49 + 75 + 432) = \frac{7\pi}{6} (556) = \frac{3892\pi}{6} = \frac{1946\pi}{3}$ см³.

Ответ: $\frac{1946\pi}{3}$ см³.

Случай 2: Плоскости расположены по разные стороны от центра шара.

В этом случае высота шарового слоя $h$ равна сумме расстояний от центра шара до плоскостей:$h_2 = d_1 + d_2 = 12 + 5 = 17$ см.

Вычислим объём шарового слоя для этого случая:$V_2 = \frac{1}{6} \pi h_2 (h_2^2 + 3r_1^2 + 3r_2^2)$$V_2 = \frac{1}{6} \pi \cdot 17 (17^2 + 3 \cdot 5^2 + 3 \cdot 12^2) = \frac{17\pi}{6} (289 + 3 \cdot 25 + 3 \cdot 144) = \frac{17\pi}{6} (289 + 75 + 432) = \frac{17\pi}{6} (796) = \frac{13532\pi}{6} = \frac{6766\pi}{3}$ см³.

Ответ: $\frac{6766\pi}{3}$ см³.

20.45. Объём правильной треугольной призмы равен V. Найдите объём цилиндра, вписанного в данную призму.

Пусть сторона основания правильной треугольной призмы равна $a$, а её высота — $h$. Объём призмы $V$ определяется произведением площади основания $S_{пр}$ на высоту $h$.

Основанием призмы является равносторонний треугольник, его площадь вычисляется по формуле:

$S_{пр} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Тогда объём призмы равен:

$V = S_{пр} \cdot h = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}h$

Цилиндр, вписанный в данную призму, имеет такую же высоту $h$. Его основание — это круг, вписанный в равносторонний треугольник, служащий основанием призмы.

Радиус $r$ круга, вписанного в равносторонний треугольник со стороной $a$, находится по формуле:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

Площадь основания цилиндра $S_{цил}$ равна:

$S_{цил} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2 = \pi \frac{3a^2}{36} = \frac{\pi a^2}{12}$

Объём вписанного цилиндра $V_{цил}$ равен:

$V_{цил} = S_{цил} \cdot h = \frac{\pi a^2}{12}h$

Чтобы найти объём цилиндра через объём призмы $V$, найдём отношение их объёмов:

$\frac{V_{цил}}{V} = \frac{\frac{\pi a^2 h}{12}}{\frac{a^2\sqrt{3}h}{4}}$

Сократим общие множители $a^2$ и $h$:

$\frac{V_{цил}}{V} = \frac{\pi/12}{\sqrt{3}/4} = \frac{\pi}{12} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\pi}{12\sqrt{3}} = \frac{\pi}{3\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\frac{\pi}{3\sqrt{3}} = \frac{\pi\sqrt{3}}{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\pi\sqrt{3}}{9}$

Таким образом, $\frac{V_{цил}}{V} = \frac{\pi\sqrt{3}}{9}$. Отсюда выражаем объём цилиндра:

$V_{цил} = V \cdot \frac{\pi\sqrt{3}}{9}$

Ответ: $\frac{\pi\sqrt{3}}{9}V$.

20.46. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, параллельные стороны которой равны 2 см и 8 см. Диагональ призмы равна $3\sqrt{10}$ см. Найдите объём цилиндра, вписанного в данную призму.

Пусть основанием прямой призмы является равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=a=8$ см и $BC=b=2$ см. Поскольку в призму вписан цилиндр, в ее основание (трапецию) можно вписать окружность, которая будет являться основанием цилиндра.

Для того чтобы в четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин его противолежащих сторон были равны. Для равнобокой трапеции с боковыми сторонами $c$ это условие выглядит так: $a + b = c + c \implies a + b = 2c$

Подставим известные значения длин оснований: $8 + 2 = 2c$ $10 = 2c$ $c = 5$ см.

Высота вписанного цилиндра $H$ совпадает с высотой призмы, а радиус его основания $r$ равен радиусу окружности, вписанной в трапецию. Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен половине ее высоты $h_{trap}$. Таким образом, $r = h_{trap} / 2$.

Найдем высоту трапеции $h_{trap}$. Опустим из вершины $B$ перпендикуляр $BK$ на основание $AD$. В равнобокой трапеции длина отрезка $AK$ равна полуразности оснований: $AK = \frac{a-b}{2} = \frac{8-2}{2} = 3$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABK$. По теореме Пифагора найдем высоту $BK=h_{trap}$: $h_{trap}^2 = AB^2 - AK^2 = c^2 - AK^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$ $h_{trap} = \sqrt{16} = 4$ см.

Теперь можно найти радиус основания цилиндра: $r = \frac{h_{trap}}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Для нахождения объема цилиндра необходимо найти его высоту $H$, которая равна высоте призмы. Квадрат диагонали прямой призмы $D$ равен сумме квадрата ее высоты $H$ и квадрата диагонали ее основания $d$: $D^2 = H^2 + d^2$

Найдем квадрат диагонали трапеции $d^2 = AC^2$. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник $ACK'$, где $CK'$ — высота трапеции ($CK' = h_{trap} = 4$ см). Отрезок $AK'$ равен: $AK' = AD - K'D = a - \frac{a-b}{2} = 8 - 3 = 5$ см.

По теореме Пифагора для треугольника $ACK'$: $d^2 = AC^2 = (AK')^2 + (CK')^2 = 5^2 + 4^2 = 25 + 16 = 41$.

Теперь найдем высоту призмы $H$, используя данную диагональ призмы $D=3\sqrt{10}$ см: $(3\sqrt{10})^2 = H^2 + 41$ $9 \cdot 10 = H^2 + 41$ $90 = H^2 + 41$ $H^2 = 90 - 41 = 49$ $H = \sqrt{49} = 7$ см.

Высота цилиндра равна высоте призмы, то есть $H_{cyl} = 7$ см. Объем цилиндра вычисляется по формуле $V_{cyl} = \pi r^2 H_{cyl}$. Подставим найденные значения $r=2$ см и $H_{cyl}=7$ см: $V_{cyl} = \pi \cdot 2^2 \cdot 7 = \pi \cdot 4 \cdot 7 = 28\pi$ см$^3$.

Ответ: $28\pi$ см$^3$.

20.47. Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно $b$ и образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите объём конуса, описанного около данной пирамиды.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида. Это означает, что в её основании лежит квадрат, а высота пирамиды проецируется в центр этого квадрата (точку пересечения диагоналей).

Конус, описанный около данной пирамиды, имеет ту же вершину, что и пирамида, и ту же высоту. Основанием конуса является круг, описанный около основания пирамиды (квадрата).

Объём конуса вычисляется по формуле:$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$,где $R$ – радиус основания конуса, а $H$ – его высота.

Найдём высоту $H$ и радиус $R$ конуса, используя данные задачи.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром пирамиды (которое является образующей конуса), высотой пирамиды и проекцией бокового ребра на плоскость основания.

В этом треугольнике:

• гипотенуза – это боковое ребро пирамиды, его длина по условию равна $b$;
• один катет – это высота пирамиды $H$, которая также является высотой конуса;
• второй катет – это проекция бокового ребра на основание. Для правильной четырёхугольной пирамиды эта проекция равна половине диагонали квадрата, что в точности является радиусом $R$ описанной около квадрата окружности.

Угол между боковым ребром и плоскостью основания – это угол между гипотенузой ($b$) и катетом ($R$). По условию этот угол равен $\alpha$.

Из этого прямоугольного треугольника, используя тригонометрические соотношения, находим $H$ и $R$:

Высота $H$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$:
$H = b \cdot \sin(\alpha)$

Радиус $R$ является катетом, прилежащим к углу $\alpha$:
$R = b \cdot \cos(\alpha)$

Теперь подставим найденные значения $H$ и $R$ в формулу для объёма конуса:

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi (b \cos(\alpha))^2 (b \sin(\alpha))$

$V = \frac{1}{3} \pi (b^2 \cos^2(\alpha)) (b \sin(\alpha))$

$V = \frac{1}{3} \pi b^3 \sin(\alpha) \cos^2(\alpha)$

Ответ: $V = \frac{1}{3} \pi b^3 \sin(\alpha) \cos^2(\alpha)$.

20.48. Одна из сторон основания треугольной пирамиды равна 12 см, а противолежащий ей угол основания — $60^\circ$. Боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом $30^\circ$. Найдите объём конуса, описанного около данной пирамиды.

Объём конуса, описанного около пирамиды, вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$, где $R$ — радиус основания конуса, а $H$ — его высота.

Основанием конуса является круг, описанный около основания пирамиды, а вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды. Следовательно, радиус основания конуса $R$ равен радиусу окружности, описанной около треугольника в основании пирамиды, а высота конуса $H$ равна высоте пирамиды.

1. Найдём радиус основания конуса R. Для нахождения радиуса окружности, описанной около треугольника, воспользуемся следствием из теоремы синусов: $R = \frac{a}{2 \sin \alpha}$, где $a$ — сторона треугольника, а $\alpha$ — противолежащий ей угол. По условию задачи, сторона основания пирамиды равна $a = 12$ см, а противолежащий ей угол $\alpha = 60°$. Подставляем эти значения в формулу: $R = \frac{12}{2 \sin 60°} = \frac{12}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{3}}$ Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе: $R = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

2. Найдём высоту конуса H. Поскольку все боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания. Высота пирамиды $H$, боковое ребро и радиус описанной окружности $R$ образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике $R$ является катетом, прилежащим к углу наклона бокового ребра (30°), а $H$ — противолежащим катетом. Следовательно, мы можем выразить высоту через тангенс угла наклона: $\tan 30° = \frac{H}{R}$ Отсюда $H = R \cdot \tan 30°$. Мы знаем, что $\tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}}$. $H = 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 4$ см.

3. Вычислим объём конуса. Теперь, зная радиус $R = 4\sqrt{3}$ см и высоту $H = 4$ см, мы можем найти объём конуса: $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi (4\sqrt{3})^2 \cdot 4$ $V = \frac{1}{3} \pi (16 \cdot 3) \cdot 4 = \frac{1}{3} \pi \cdot 48 \cdot 4$ $V = 16 \pi \cdot 4 = 64\pi$ см³.

Ответ: $64\pi$ см³.

20.49. Основанием пирамиды является ромб со стороной $a$ и углом $\alpha$. Найдите объём конуса, вписанного в данную пирамиду, если угол между его образующей и плоскостью основания пирамиды равен $\beta$.

Объём конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, где $r$ – радиус основания конуса, а $h$ – его высота. Для решения задачи необходимо найти $r$ и $h$, выраженные через заданные параметры $a$, $\alpha$ и $\beta$.

1. Нахождение радиуса основания конуса.Так как конус вписан в пирамиду, его основание (окружность) вписано в основание пирамиды (ромб). Радиус $r$ этой окружности равен половине высоты ромба, которую обозначим $h_{ромб}$. Высоту ромба со стороной $a$ и углом $\alpha$ находим из определения синуса в прямоугольном треугольнике:$h_{ромб} = a \sin(\alpha)$. Следовательно, радиус основания конуса равен:$r = \frac{h_{ромб}}{2} = \frac{a \sin(\alpha)}{2}$.

2. Нахождение высоты конуса.Угол $\beta$ между образующей конуса и плоскостью его основания является углом в прямоугольном треугольнике, который образован высотой конуса $h$, радиусом основания $r$ и самой образующей. В этом треугольнике $h$ является противолежащим катетом к углу $\beta$, а $r$ – прилежащим катетом. Они связаны соотношением:$\tan(\beta) = \frac{h}{r}$. Отсюда выражаем высоту $h$:$h = r \tan(\beta)$. Подставив найденное ранее значение $r$, получаем:$h = \frac{a \sin(\alpha)}{2} \tan(\beta)$.

3. Вычисление объёма конуса.Теперь подставим полученные выражения для $r$ и $h$ в формулу объёма конуса:$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{a \sin(\alpha)}{2}\right)^2 \left(\frac{a \sin(\alpha)}{2} \tan(\beta)\right)$. Выполним преобразования:$V = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{a^2 \sin^2(\alpha)}{4}\right) \left(\frac{a \sin(\alpha) \tan(\beta)}{2}\right) = \frac{\pi (a^2 \cdot a)(\sin^2(\alpha) \cdot \sin(\alpha)) \tan(\beta)}{3 \cdot 4 \cdot 2} = \frac{\pi a^3 \sin^3(\alpha) \tan(\beta)}{24}$.

Ответ: $\frac{\pi a^3 \sin^3(\alpha) \tan(\beta)}{24}$.

20.50. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см, а двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $60^\circ$. Найдите объём конуса, вписанного в данную пирамиду.

Для того чтобы найти объем конуса, вписанного в пирамиду, необходимо определить радиус его основания $R$ и высоту $H$. Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$.

Конус считается вписанным в пирамиду, если их вершины совпадают, а основание конуса (окружность) вписано в основание пирамиды (многоугольник). Таким образом, радиус основания конуса $R$ будет равен радиусу $r$ окружности, вписанной в треугольник в основании пирамиды, а высота конуса $H$ будет равна высоте пирамиды.

Условие равенства всех двугранных углов при ребрах основания ($60^\circ$) означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание.

1. Нахождение радиуса основания конуса (радиуса вписанной окружности).

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами $a = 6$ см и $b = 8$ см. Для нахождения радиуса вписанной окружности сначала вычислим гипотенузу $c$ по теореме Пифагора: $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

Радиус $r$ окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находится по формуле: $r = \frac{a + b - c}{2}$ Подставив значения сторон, получим: $r = \frac{6 + 8 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см. Следовательно, радиус основания конуса $R = r = 2$ см.

2. Нахождение высоты конуса (высоты пирамиды).

Высота пирамиды $H$, радиус вписанной окружности $r$ и апофема боковой грани образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике $r$ является катетом, прилежащим к углу, равному линейному углу двугранного угла ($60^\circ$), а $H$ — противолежащим катетом.

Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике: $\tan(60^\circ) = \frac{H}{r}$ Отсюда выражаем высоту $H$: $H = r \cdot \tan(60^\circ) = 2 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см.

3. Вычисление объема конуса.

Теперь, зная радиус основания $R = 2$ см и высоту $H = 2\sqrt{3}$ см, подставим эти значения в формулу для объема конуса: $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi \cdot (2)^2 \cdot (2\sqrt{3}) = \frac{1}{3}\pi \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} = \frac{8\pi\sqrt{3}}{3}$ см³.

Ответ: $\frac{8\pi\sqrt{3}}{3}$ см³.

20.51. Образующая усечённого конуса равна $a$, а угол между нею и плоскостью большего основания равен $\alpha$. Найдите объём усечённого конуса, если диагонали его осевого сечения перпендикулярны.

Обозначим радиусы оснований усечённого конуса как $R$ (радиус большего основания) и $r$ (радиус меньшего основания), высоту конуса как $h$, а его образующую как $l$. Согласно условию задачи, $l = a$.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Оно представляет собой равнобедренную трапецию. Обозначим вершины этой трапеции как $ABCD$, где $AD = 2R$ и $BC = 2r$ являются основаниями, а $AB = CD = a$ — боковыми сторонами, которые соответствуют образующим конуса.

Угол между образующей и плоскостью большего основания равен $\alpha$. В трапеции $ABCD$ этому углу соответствует угол при большем основании, например, $\angle CDA = \alpha$. Проведём высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. Образуется прямоугольный треугольник $CHD$. В этом треугольнике:
Высота конуса $h$ равна катету $CH$: $h = CH = CD \cdot \sin(\angle CDA) = a \sin \alpha$.
Катет $HD$ равен: $HD = CD \cdot \cos(\angle CDA) = a \cos \alpha$.

В равнобедренной трапеции длина отрезка $HD$ (проекция боковой стороны на большее основание) равна полуразности оснований:
$HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{2R - 2r}{2} = R - r$.
Отсюда мы получаем первое важное соотношение: $R - r = a \cos \alpha$.

В условии сказано, что диагонали осевого сечения (трапеции $ABCD$) перпендикулярны. Существует свойство равнобедренной трапеции, согласно которому, если её диагонали перпендикулярны, то её высота равна полусумме оснований:
$h = \frac{AD + BC}{2} = \frac{2R + 2r}{2} = R + r$.

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений для нахождения суммы и разности радиусов:
1) $R + r = h = a \sin \alpha$
2) $R - r = a \cos \alpha$

Формула для вычисления объёма усечённого конуса:
$V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$.

Найдём выражение для скобки $(R^2 + Rr + r^2)$, используя выведенные ранее соотношения. Для удобства преобразуем эту сумму, выразив её через $(R+r)$ и $(R-r)$:
$R^2 + Rr + r^2 = \frac{3}{4}(R^2 + 2Rr + r^2) + \frac{1}{4}(R^2 - 2Rr + r^2) = \frac{3}{4}(R+r)^2 + \frac{1}{4}(R-r)^2$.
Теперь подставим в это выражение наши соотношения:
$R^2 + Rr + r^2 = \frac{3}{4}(a \sin \alpha)^2 + \frac{1}{4}(a \cos \alpha)^2 = \frac{3}{4}a^2 \sin^2 \alpha + \frac{1}{4}a^2 \cos^2 \alpha$.
Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$:
$R^2 + Rr + r^2 = \frac{a^2}{4}(3 \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) = \frac{a^2}{4}(3 \sin^2 \alpha + 1 - \sin^2 \alpha) = \frac{a^2}{4}(1 + 2 \sin^2 \alpha)$.

Наконец, подставляем все найденные компоненты в формулу объёма:
$V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2) = \frac{1}{3} \pi (a \sin \alpha) \left( \frac{a^2}{4}(1 + 2 \sin^2 \alpha) \right)$.
После упрощения получаем окончательный результат:
$V = \frac{\pi a^3 \sin \alpha (1 + 2 \sin^2 \alpha)}{12}$.

Ответ: $V = \frac{\pi a^3 \sin \alpha (1 + 2 \sin^2 \alpha)}{12}$.

20.52. В усечённый конус вписан шар, радиус которого равен $r$. Диаметр большего основания усечённого конуса виден из центра вписанного шара под углом $\alpha$. Найдите объём усечённого конуса.

Обозначим радиус большего основания усечённого конуса как $R$, радиус меньшего основания как $R_1$, а высоту как $H$. Объём усечённого конуса вычисляется по формуле:$V = \frac{1}{3} \pi H (R^2 + R R_1 + R_1^2)$

Поскольку в усечённый конус вписан шар радиуса $r$, то его центр лежит на оси конуса на одинаковом расстоянии $r$ от обоих оснований. Следовательно, высота усечённого конуса равна диаметру вписанного шара: $H = 2r$.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Это равнобедренная трапеция, в которую вписана окружность радиуса $r$. Пусть $O$ — центр шара (и вписанной окружности). По условию, диаметр большего основания виден из точки $O$ под углом $\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом большего основания $R$, отрезком от центра шара до центра большего основания (длиной $r$) и отрезком, соединяющим центр шара с точкой на окружности большего основания. Катеты этого треугольника равны $R$ и $r$. Угол при вершине $O$, противолежащий катету $R$, равен половине угла $\alpha$, то есть $\frac{\alpha}{2}$.

Из соотношений в этом прямоугольном треугольнике имеем:$\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{R}{r}$Отсюда выражаем радиус большего основания:$R = r \tan(\frac{\alpha}{2})$

Для усечённого конуса, в который можно вписать шар, существует свойство, связывающее радиусы его оснований и радиус вписанного шара. Это свойство вытекает из того, что в осевое сечение (равнобедренную трапецию) можно вписать окружность. Для такой трапеции сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Пусть $L$ — образующая конуса (боковая сторона трапеции). Тогда $2R + 2R_1 = 2L$, или $L = R + R_1$.

Рассмотрим другой прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H=2r$, образующей $L$ и разностью радиусов $R-R_1$. По теореме Пифагора:$L^2 = H^2 + (R - R_1)^2$Подставим в это уравнение $L = R + R_1$ и $H=2r$:$(R + R_1)^2 = (2r)^2 + (R - R_1)^2$$R^2 + 2RR_1 + R_1^2 = 4r^2 + R^2 - 2RR_1 + R_1^2$$4RR_1 = 4r^2$$RR_1 = r^2$

Теперь мы можем найти радиус меньшего основания $R_1$:$R_1 = \frac{r^2}{R} = \frac{r^2}{r \tan(\frac{\alpha}{2})} = r \cot(\frac{\alpha}{2})$

Подставим найденные значения $H$, $R$, $R_1$ и $RR_1$ в формулу объёма усечённого конуса:$V = \frac{1}{3} \pi (2r) \left( (r \tan(\frac{\alpha}{2}))^2 + r^2 + (r \cot(\frac{\alpha}{2}))^2 \right)$$V = \frac{2}{3} \pi r \cdot r^2 \left( \tan^2(\frac{\alpha}{2}) + 1 + \cot^2(\frac{\alpha}{2}) \right)$$V = \frac{2}{3} \pi r^3 \left( \tan^2(\frac{\alpha}{2}) + 1 + \cot^2(\frac{\alpha}{2}) \right)$

Упростим тригонометрическое выражение в скобках. Воспользуемся тем, что $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ и $1 + \cot^2 x = \csc^2 x$.$\tan^2(\frac{\alpha}{2}) + 1 + \cot^2(\frac{\alpha}{2}) = (\tan^2(\frac{\alpha}{2}) + \cot^2(\frac{\alpha}{2}) + 2) - 1 = (\tan(\frac{\alpha}{2}) + \cot(\frac{\alpha}{2}))^2 - 1$Преобразуем сумму тангенса и котангенса:$\tan(\frac{\alpha}{2}) + \cot(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\sin(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\frac{\alpha}{2})} + \frac{\cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{\sin^2(\frac{\alpha}{2}) + \cos^2(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{1}{\frac{1}{2}\sin\alpha} = \frac{2}{\sin\alpha}$Тогда искомое выражение равно:$\left( \frac{2}{\sin\alpha} \right)^2 - 1 = \frac{4}{\sin^2\alpha} - 1 = \frac{4 - \sin^2\alpha}{\sin^2\alpha}$Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получим:$\frac{4 - (1 - \cos^2\alpha)}{\sin^2\alpha} = \frac{3 + \cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}$

Теперь подставим упрощенное выражение обратно в формулу для объёма:$V = \frac{2}{3} \pi r^3 \left( \frac{3 + \cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} \right)$

Ответ: $V = \frac{2\pi r^3 (3 + \cos^2\alpha)}{3\sin^2\alpha}$

20.53. Докажите, что объём конуса равен трети произведения его боковой поверхности и расстояния от центра основания до образующей.

Обозначим радиус основания конуса как $R$, высоту как $H$, а длину образующей как $L$.

Стандартная формула для объёма конуса ($V$) выглядит следующим образом: $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$.

Площадь боковой поверхности конуса ($S_{бок}$) вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi R L$.

Требуется доказать, что $V = \frac{1}{3} S_{бок} \cdot d$, где $d$ — расстояние от центра основания до образующей.

Для нахождения $d$ рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой равнобедренный треугольник. Половина этого сечения — это прямоугольный треугольник, катетами которого являются радиус основания $R$ и высота конуса $H$, а гипотенузой — образующая $L$.

Расстояние $d$ от центра основания (вершина прямого угла) до образующей (гипотенуза) является высотой этого прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе.

Площадь ($S_{\triangle}$) этого прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами.

1. Через половину произведения катетов: $S_{\triangle} = \frac{1}{2} R H$.

2. Через половину произведения гипотенузы на высоту, опущенную на неё: $S_{\triangle} = \frac{1}{2} L d$.

Приравнивая оба выражения для площади, получим: $\frac{1}{2} R H = \frac{1}{2} L d$.

Из этого равенства следует, что $R H = L d$. Выразим отсюда $d$: $d = \frac{R H}{L}$.

Теперь подставим выражения для $S_{бок}$ и $d$ в правую часть доказываемой формулы ($\frac{1}{3} S_{бок} \cdot d$): $\frac{1}{3} S_{бок} \cdot d = \frac{1}{3} (\pi R L) \cdot \left(\frac{R H}{L}\right)$.

Сократив $L$ в числителе и знаменателе, получаем: $\frac{1}{3} \pi R \cdot R H = \frac{1}{3} \pi R^2 H$.

Полученное выражение $\frac{1}{3} \pi R^2 H$ в точности совпадает с формулой объёма конуса $V$. Следовательно, равенство $V = \frac{1}{3} S_{бок} \cdot d$ является верным, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что объём конуса равен трети произведения его боковой поверхности и расстояния от центра основания до образующей, доказано.

20.54. Сфера с центром в вершине конуса делит конус на две равновеликие части. Найдите объём шара, ограниченного этой сферой, если радиус основания конуса равен $r$ и угол при вершине его осевого сечения равен $\alpha$.

Для решения задачи найдем сначала объем конуса. Обозначим радиус основания конуса как $r$, высоту как $H$, а угол при вершине осевого сечения как $\alpha$.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник с основанием $2r$ и углом при вершине $\alpha$. Высота конуса $H$ является также высотой и биссектрисой этого треугольника, поэтому она делит его на два равных прямоугольных треугольника. В каждом из этих треугольников катеты равны $r$ и $H$, а угол, противолежащий катету $r$, равен $\frac{\alpha}{2}$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:$\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{r}{H}$

Отсюда выразим высоту конуса $H$:$H = \frac{r}{\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)} = r \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Объем конуса $V_{\text{к}}$ вычисляется по формуле:$V_{\text{к}} = \frac{1}{3}\pi r^2 H$

Подставив выражение для $H$, получим:$V_{\text{к}} = \frac{1}{3}\pi r^2 \left(r \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) = \frac{1}{3}\pi r^3 \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Сфера с центром в вершине конуса и радиусом $R$ высекает из конуса тело, называемое шаровым сектором. Объем шарового сектора $V_{\text{сект}}$ с углом раствора $\alpha$ (то есть с половинным углом $\frac{\alpha}{2}$) определяется формулой:$V_{\text{сект}} = \frac{2}{3}\pi R^3 \left(1 - \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)$

По условию задачи, сфера делит конус на две равновеликие (равные по объему) части. Это означает, что объем шарового сектора равен половине объема всего конуса:$V_{\text{сект}} = \frac{1}{2}V_{\text{к}}$

Подставим в это равенство выражения для объемов:$\frac{2}{3}\pi R^3 \left(1 - \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{3}\pi r^3 \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)$

Упростим уравнение:$\frac{2}{3}\pi R^3 \left(1 - \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) = \frac{1}{6}\pi r^3 \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Умножим обе части на $\frac{3}{\pi}$:$2 R^3 \left(1 - \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) = \frac{1}{2} r^3 \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Выразим $R^3$:$R^3 = \frac{r^3 \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{4\left(1 - \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)}$

Объем шара $V_{\text{ш}}$, ограниченного этой сферой, вычисляется по формуле:$V_{\text{ш}} = \frac{4}{3}\pi R^3$

Подставим найденное выражение для $R^3$:$V_{\text{ш}} = \frac{4}{3}\pi \left( \frac{r^3 \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{4\left(1 - \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)} \right)$

Сократив множитель 4, получим окончательный результат:$V_{\text{ш}} = \frac{\pi r^3 \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{3\left(1 - \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)}$

Ответ: $V = \frac{\pi r^3 \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{3\left(1 - \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)}$

20.55. В конус вписан шар радиуса $r$. Угол при вершине осевого сечения конуса равен $\alpha$. Найдите объём части конуса, расположенной над шаром.

Рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него шара. Сечением является равнобедренный треугольник с вписанной в него окружностью. Пусть вершина конуса — $S$, центр основания — $O$, а радиус основания — $R$. Высота конуса — $H = SO$. Угол при вершине осевого сечения равен $\alpha$, следовательно, угол между высотой конуса и его образующей равен $\alpha/2$.

Центр вписанного шара $O_s$ лежит на высоте конуса $SO$. Радиус шара равен $r$. Окружность, являющаяся сечением шара, касается основания треугольника и его боковых сторон. Расстояние от центра $O_s$ до основания конуса равно радиусу шара $r$, то есть $OO_s = r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $SO$, образующей $SL$ и радиусом основания $OL$. Пусть $K$ — точка касания шара с образующей $SL$. Тогда $O_sK$ — радиус шара, перпендикулярный образующей. Из прямоугольного треугольника $\triangle SO_sK$ с углом $\angle KSO_s = \alpha/2$ находим гипотенузу $SO_s$: $SO_s = \frac{O_sK}{\sin(\alpha/2)} = \frac{r}{\sin(\alpha/2)}$.

Высота всего конуса $H$ равна сумме отрезков $SO_s$ и $OO_s$: $H = SO = SO_s + OO_s = \frac{r}{\sin(\alpha/2)} + r = r\left(\frac{1}{\sin(\alpha/2)} + 1\right) = \frac{r(1 + \sin(\alpha/2))}{\sin(\alpha/2)}$.

Часть конуса, расположенная над шаром, — это меньший конус с той же вершиной $S$ и углом при вершине осевого сечения $\alpha$. Его основание — это окружность, образованная плоскостью, которая касается шара в его самой верхней точке. Эта точка находится на высоте $2r$ от основания большого конуса (расстояние $r$ от основания до центра шара плюс расстояние $r$ от центра до верхней точки шара).

Следовательно, высота малого конуса $H'$ равна: $H' = H - 2r = \frac{r(1 + \sin(\alpha/2))}{\sin(\alpha/2)} - 2r = \frac{r(1 + \sin(\alpha/2) - 2\sin(\alpha/2))}{\sin(\alpha/2)} = \frac{r(1 - \sin(\alpha/2))}{\sin(\alpha/2)}$.

Радиус основания малого конуса $R'$ можно найти из прямоугольного треугольника, являющегося его осевым сечением: $R' = H' \cdot \tan(\alpha/2) = \frac{r(1 - \sin(\alpha/2))}{\sin(\alpha/2)} \cdot \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} = \frac{r(1 - \sin(\alpha/2))}{\cos(\alpha/2)}$.

Теперь найдём объём $V'$ этого малого конуса по формуле $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$: $V' = \frac{1}{3}\pi (R')^2 H' = \frac{1}{3}\pi \left( \frac{r(1 - \sin(\alpha/2))}{\cos(\alpha/2)} \right)^2 \left( \frac{r(1 - \sin(\alpha/2))}{\sin(\alpha/2)} \right)$.

$V' = \frac{\pi r^3}{3} \frac{(1 - \sin(\alpha/2))^3}{\cos^2(\alpha/2) \sin(\alpha/2)}$.

Упростим полученное выражение, используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2(\alpha/2) = 1 - \sin^2(\alpha/2) = (1 - \sin(\alpha/2))(1 + \sin(\alpha/2))$: $V' = \frac{\pi r^3}{3} \frac{(1 - \sin(\alpha/2))^3}{(1 - \sin(\alpha/2))(1 + \sin(\alpha/2)) \sin(\alpha/2)}$.

Сократив на $(1 - \sin(\alpha/2))$, получим окончательный результат: $V' = \frac{\pi r^3}{3} \frac{(1 - \sin(\alpha/2))^2}{\sin(\alpha/2)(1 + \sin(\alpha/2))}$.

Ответ: $\frac{\pi r^3}{3} \frac{(1 - \sin(\alpha/2))^2}{\sin(\alpha/2)(1 + \sin(\alpha/2))}$.