Номер 20.55, страница 196 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.55. В конус вписан шар радиуса $r$. Угол при вершине осевого сечения конуса равен $\alpha$. Найдите объём части конуса, расположенной над шаром.

Рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него шара. Сечением является равнобедренный треугольник с вписанной в него окружностью. Пусть вершина конуса — $S$, центр основания — $O$, а радиус основания — $R$. Высота конуса — $H = SO$. Угол при вершине осевого сечения равен $\alpha$, следовательно, угол между высотой конуса и его образующей равен $\alpha/2$.

Центр вписанного шара $O_s$ лежит на высоте конуса $SO$. Радиус шара равен $r$. Окружность, являющаяся сечением шара, касается основания треугольника и его боковых сторон. Расстояние от центра $O_s$ до основания конуса равно радиусу шара $r$, то есть $OO_s = r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $SO$, образующей $SL$ и радиусом основания $OL$. Пусть $K$ — точка касания шара с образующей $SL$. Тогда $O_sK$ — радиус шара, перпендикулярный образующей. Из прямоугольного треугольника $\triangle SO_sK$ с углом $\angle KSO_s = \alpha/2$ находим гипотенузу $SO_s$: $SO_s = \frac{O_sK}{\sin(\alpha/2)} = \frac{r}{\sin(\alpha/2)}$.

Высота всего конуса $H$ равна сумме отрезков $SO_s$ и $OO_s$: $H = SO = SO_s + OO_s = \frac{r}{\sin(\alpha/2)} + r = r\left(\frac{1}{\sin(\alpha/2)} + 1\right) = \frac{r(1 + \sin(\alpha/2))}{\sin(\alpha/2)}$.

Часть конуса, расположенная над шаром, — это меньший конус с той же вершиной $S$ и углом при вершине осевого сечения $\alpha$. Его основание — это окружность, образованная плоскостью, которая касается шара в его самой верхней точке. Эта точка находится на высоте $2r$ от основания большого конуса (расстояние $r$ от основания до центра шара плюс расстояние $r$ от центра до верхней точки шара).

Следовательно, высота малого конуса $H'$ равна: $H' = H - 2r = \frac{r(1 + \sin(\alpha/2))}{\sin(\alpha/2)} - 2r = \frac{r(1 + \sin(\alpha/2) - 2\sin(\alpha/2))}{\sin(\alpha/2)} = \frac{r(1 - \sin(\alpha/2))}{\sin(\alpha/2)}$.

Радиус основания малого конуса $R'$ можно найти из прямоугольного треугольника, являющегося его осевым сечением: $R' = H' \cdot \tan(\alpha/2) = \frac{r(1 - \sin(\alpha/2))}{\sin(\alpha/2)} \cdot \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} = \frac{r(1 - \sin(\alpha/2))}{\cos(\alpha/2)}$.

Теперь найдём объём $V'$ этого малого конуса по формуле $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$: $V' = \frac{1}{3}\pi (R')^2 H' = \frac{1}{3}\pi \left( \frac{r(1 - \sin(\alpha/2))}{\cos(\alpha/2)} \right)^2 \left( \frac{r(1 - \sin(\alpha/2))}{\sin(\alpha/2)} \right)$.

$V' = \frac{\pi r^3}{3} \frac{(1 - \sin(\alpha/2))^3}{\cos^2(\alpha/2) \sin(\alpha/2)}$.

Упростим полученное выражение, используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2(\alpha/2) = 1 - \sin^2(\alpha/2) = (1 - \sin(\alpha/2))(1 + \sin(\alpha/2))$: $V' = \frac{\pi r^3}{3} \frac{(1 - \sin(\alpha/2))^3}{(1 - \sin(\alpha/2))(1 + \sin(\alpha/2)) \sin(\alpha/2)}$.

Сократив на $(1 - \sin(\alpha/2))$, получим окончательный результат: $V' = \frac{\pi r^3}{3} \frac{(1 - \sin(\alpha/2))^2}{\sin(\alpha/2)(1 + \sin(\alpha/2))}$.

Ответ: $\frac{\pi r^3}{3} \frac{(1 - \sin(\alpha/2))^2}{\sin(\alpha/2)(1 + \sin(\alpha/2))}$.