Номер 20.56, страница 197 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.56. Диагонали квадрата $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Через середину отрезка $BO$ проведена прямая, параллельная диагонали $AC$. Найдите отношение площадей фигур, на которые эта прямая разбивает квадрат $ABCD$.

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. Тогда площадь квадрата $S_{ABCD} = a^2$.

Диагонали квадрата $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, они равны, перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Таким образом, $\triangle ABC$ — прямоугольный равнобедренный треугольник с катетами $AB = BC = a$. Его площадь равна $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC = \frac{1}{2} a^2$.

Пусть $M$ — середина отрезка $BO$. Через точку $M$ проведена прямая, параллельная диагонали $AC$. Обозначим точки пересечения этой прямой со сторонами квадрата $AB$ и $BC$ как $K$ и $L$ соответственно. Прямая $KL$ разбивает квадрат на две фигуры: треугольник $KBL$ и пятиугольник $AKLCD$. Нам нужно найти отношение их площадей.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как прямая $KL$ параллельна его основанию $AC$ ($KL \parallel AC$), то треугольник $KBL$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle KBL \sim \triangle ABC$).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия $k$:

$\frac{S_{\triangle KBL}}{S_{\triangle ABC}} = k^2$, где коэффициент подобия $k = \frac{BK}{BA} = \frac{BL}{BC}$.

Чтобы найти коэффициент подобия $k$, рассмотрим треугольник $BCO$. В нем отрезок $ML$ является частью прямой $KL$, которая параллельна $AC$, а значит $ML \parallel CO$. По теореме о пропорциональных отрезках (или из подобия треугольников $BML$ и $BCO$), имеем:

$\frac{BL}{BC} = \frac{BM}{BO}$

По условию задачи, точка $M$ — середина отрезка $BO$, следовательно $BM = \frac{1}{2} BO$. Подставим это в полученное соотношение:

$k = \frac{BL}{BC} = \frac{\frac{1}{2} BO}{BO} = \frac{1}{2}$

Теперь мы можем найти площадь треугольника $KBL$, зная площадь $\triangle ABC$ и коэффициент подобия:

$S_{\triangle KBL} = k^2 \cdot S_{\triangle ABC} = (\frac{1}{2})^2 \cdot (\frac{1}{2} a^2) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} a^2 = \frac{1}{8} a^2$.

Таким образом, площадь одной из фигур (треугольника $KBL$) составляет $\frac{1}{8}$ от площади всего квадрата ($S_{\triangle KBL} = \frac{1}{8} S_{ABCD}$).

Площадь второй фигуры, пятиугольника $AKLCD$, можно найти как разность площадей квадрата $ABCD$ и треугольника $KBL$:

$S_{AKLCD} = S_{ABCD} - S_{\triangle KBL} = a^2 - \frac{1}{8} a^2 = \frac{7}{8} a^2$.

Теперь найдем искомое отношение площадей этих двух фигур:

$\frac{S_{\triangle KBL}}{S_{AKLCD}} = \frac{\frac{1}{8} a^2}{\frac{7}{8} a^2} = \frac{1}{7}$

Ответ: 1:7