Страница 197 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.56. Диагонали квадрата $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Через середину отрезка $BO$ проведена прямая, параллельная диагонали $AC$. Найдите отношение площадей фигур, на которые эта прямая разбивает квадрат $ABCD$.

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. Тогда площадь квадрата $S_{ABCD} = a^2$.

Диагонали квадрата $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, они равны, перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Таким образом, $\triangle ABC$ — прямоугольный равнобедренный треугольник с катетами $AB = BC = a$. Его площадь равна $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC = \frac{1}{2} a^2$.

Пусть $M$ — середина отрезка $BO$. Через точку $M$ проведена прямая, параллельная диагонали $AC$. Обозначим точки пересечения этой прямой со сторонами квадрата $AB$ и $BC$ как $K$ и $L$ соответственно. Прямая $KL$ разбивает квадрат на две фигуры: треугольник $KBL$ и пятиугольник $AKLCD$. Нам нужно найти отношение их площадей.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как прямая $KL$ параллельна его основанию $AC$ ($KL \parallel AC$), то треугольник $KBL$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle KBL \sim \triangle ABC$).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия $k$:

$\frac{S_{\triangle KBL}}{S_{\triangle ABC}} = k^2$, где коэффициент подобия $k = \frac{BK}{BA} = \frac{BL}{BC}$.

Чтобы найти коэффициент подобия $k$, рассмотрим треугольник $BCO$. В нем отрезок $ML$ является частью прямой $KL$, которая параллельна $AC$, а значит $ML \parallel CO$. По теореме о пропорциональных отрезках (или из подобия треугольников $BML$ и $BCO$), имеем:

$\frac{BL}{BC} = \frac{BM}{BO}$

По условию задачи, точка $M$ — середина отрезка $BO$, следовательно $BM = \frac{1}{2} BO$. Подставим это в полученное соотношение:

$k = \frac{BL}{BC} = \frac{\frac{1}{2} BO}{BO} = \frac{1}{2}$

Теперь мы можем найти площадь треугольника $KBL$, зная площадь $\triangle ABC$ и коэффициент подобия:

$S_{\triangle KBL} = k^2 \cdot S_{\triangle ABC} = (\frac{1}{2})^2 \cdot (\frac{1}{2} a^2) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} a^2 = \frac{1}{8} a^2$.

Таким образом, площадь одной из фигур (треугольника $KBL$) составляет $\frac{1}{8}$ от площади всего квадрата ($S_{\triangle KBL} = \frac{1}{8} S_{ABCD}$).

Площадь второй фигуры, пятиугольника $AKLCD$, можно найти как разность площадей квадрата $ABCD$ и треугольника $KBL$:

$S_{AKLCD} = S_{ABCD} - S_{\triangle KBL} = a^2 - \frac{1}{8} a^2 = \frac{7}{8} a^2$.

Теперь найдем искомое отношение площадей этих двух фигур:

$\frac{S_{\triangle KBL}}{S_{AKLCD}} = \frac{\frac{1}{8} a^2}{\frac{7}{8} a^2} = \frac{1}{7}$

Ответ: 1:7

20.57. Окружность, центр которой принадлежит гипотенузе прямоугольного треугольника, касается большего катета и проходит через вершину противолежащего ему острого угла. Найдите радиус окружности, если катеты равны 5 см и 12 см.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Катеты треугольника равны $AC = 5$ см и $BC = 12$ см. По условию, окружность касается большего катета, то есть $BC$.

Найдем длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора:$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ см.

Пусть $O$ - центр окружности, а $R$ - ее радиус. По условию, центр $O$ лежит на гипотенузе $AB$.

Окружность касается большего катета $BC$ в точке $D$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $OD \perp BC$ и длина отрезка $OD$ равна радиусу, $OD = R$.

Окружность проходит через вершину острого угла, противолежащего большему катету $BC$. Этим углом является $\angle A$. Значит, расстояние от центра окружности $O$ до вершины $A$ равно радиусу: $OA = R$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ODB$ и $\triangle ACB$. Так как $AC \perp BC$ и $OD \perp BC$, то прямые $OD$ и $AC$ параллельны ($OD \parallel AC$). Поскольку $OD \parallel AC$, то треугольник $\triangle ODB$ подобен треугольнику $\triangle ACB$ по двум углам ($\angle B$ - общий, $\angle ODB = \angle ACB = 90^\circ$).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: $\frac{OD}{AC} = \frac{OB}{AB}$.

Подставим в это соотношение известные значения: $OD = R$ (радиус окружности), $AC = 5$ см (меньший катет), $AB = 13$ см (гипотенуза) и $OB = AB - OA = 13 - R$ (так как точка $O$ лежит на отрезке $AB$).

Получаем уравнение: $\frac{R}{5} = \frac{13 - R}{13}$.

Решим это уравнение относительно $R$, используя свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$13 \cdot R = 5 \cdot (13 - R)$
$13R = 65 - 5R$
$13R + 5R = 65$
$18R = 65$
$R = \frac{65}{18}$ см.

Ответ: $\frac{65}{18}$ см.