Страница 195 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.33. Радиусы оснований усечённого конуса равны $R$ и $r$, $R > r$. Найдите отношение объёма данного усечённого конуса к объёму конуса, частью которого он является.

Пусть $V_{ус}$ — объем усеченного конуса, а $V_{полн}$ — объем полного конуса, частью которого является усеченный конус. Радиусы оснований усеченного конуса равны $R$ и $r$, где $R > r$.
Усеченный конус образуется из полного конуса с радиусом основания $R$ путем отсечения от него меньшего конуса с радиусом основания $r$. Обозначим объем отсеченного конуса как $V_{отс}$.
Тогда объем усеченного конуса можно представить как разность объемов полного и отсеченного конусов:
$V_{ус} = V_{полн} - V_{отс}$
Требуется найти отношение $\frac{V_{ус}}{V_{полн}}$. Выразим это отношение:
$\frac{V_{ус}}{V_{полн}} = \frac{V_{полн} - V_{отс}}{V_{полн}} = 1 - \frac{V_{отс}}{V_{полн}}$
Полный конус и отсеченный малый конус являются подобными телами. Коэффициент подобия $k$ равен отношению их соответствующих линейных размеров, например, радиусов оснований:
$k = \frac{r}{R}$
Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия. Следовательно:
$\frac{V_{отс}}{V_{полн}} = k^3 = (\frac{r}{R})^3 = \frac{r^3}{R^3}$
Теперь подставим найденное отношение объемов в нашу формулу:
$\frac{V_{ус}}{V_{полн}} = 1 - \frac{r^3}{R^3}$
Приводя правую часть к общему знаменателю, получаем окончательный результат:
$\frac{V_{ус}}{V_{полн}} = \frac{R^3 - r^3}{R^3}$

Ответ: $\frac{R^3 - r^3}{R^3}$

20.34. Радиусы оснований усечённого конуса равны 4 см и 6 см. Образующую усечённого конуса видно из точки пересечения диагоналей его осевого сечения, проходящего через эту образующую, под углом $60^\circ$. Найдите объём усечённого конуса.

Осевым сечением усечённого конуса является равнобокая трапеция. Пусть это будет трапеция ABCD, где AD и BC — основания, соответствующие диаметрам оснований конуса.

Размеры оснований трапеции равны:
Нижнее основание: $AD = 2r_2 = 2 \cdot 6 = 12$ см.
Верхнее основание: $BC = 2r_1 = 2 \cdot 4 = 8$ см.
Боковые стороны AB и CD являются образующими усечённого конуса. Обозначим их длину как $l$. Высота трапеции $h$ является высотой усечённого конуса.

Пусть диагонали трапеции AC и BD пересекаются в точке O. Согласно условию, образующая видна из точки O под углом 60°, то есть $\angle COD = 60^\circ$.

Треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle AOD$ подобны (по двум углам, так как $BC \parallel AD$). Коэффициент подобия $k$ равен отношению оснований:$k = \frac{BC}{AD} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$. Следовательно, отношение отрезков диагоналей также равно $k$:$\frac{OC}{OA} = \frac{OB}{OD} = \frac{2}{3}$. Так как трапеция равнобокая, ее диагонали равны: $AC = BD$. Из этого следует, что $OC = OB$ и $OA = OD$. Обозначим $OC = 2x$, тогда $OD = 3x$.

Рассмотрим треугольник $\triangle COD$. По теореме косинусов для стороны CD (которая является образующей $l$):$l^2 = CD^2 = OC^2 + OD^2 - 2 \cdot OC \cdot OD \cdot \cos(\angle COD)$$l^2 = (2x)^2 + (3x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot (3x) \cdot \cos(60^\circ)$$l^2 = 4x^2 + 9x^2 - 12x^2 \cdot \frac{1}{2} = 13x^2 - 6x^2 = 7x^2$.

Для нахождения высоты $h$ проведем высоту $CE$ из вершины C на основание AD. В прямоугольном треугольнике $\triangle CDE$ катет $ED$ равен полуразности оснований:$ED = \frac{AD - BC}{2} = \frac{12 - 8}{2} = 2$ см. По теореме Пифагора, $l^2 = CE^2 + ED^2 = h^2 + 2^2 = h^2 + 4$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACE$. Его катеты $CE = h$ и $AE = AD - ED = 12 - 2 = 10$ см. Гипотенуза $AC = OC + OA = 2x + 3x = 5x$. По теореме Пифагора:$AC^2 = AE^2 + CE^2$$(5x)^2 = 10^2 + h^2$$25x^2 = 100 + h^2$.

Мы получили систему уравнений для $x^2$ и $h^2$:1) $l^2 = 7x^2$2) $l^2 = h^2 + 4$Из этих двух уравнений следует, что $7x^2 = h^2 + 4$, откуда $x^2 = \frac{h^2 + 4}{7}$. Подставим это выражение в уравнение $25x^2 = 100 + h^2$:$25 \left(\frac{h^2 + 4}{7}\right) = 100 + h^2$$25(h^2 + 4) = 7(100 + h^2)$$25h^2 + 100 = 700 + 7h^2$$18h^2 = 600$$h^2 = \frac{600}{18} = \frac{100}{3}$$h = \sqrt{\frac{100}{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$ см.

Теперь, зная высоту и радиусы оснований, найдем объём усечённого конуса по формуле:$V = \frac{1}{3}\pi h (r_2^2 + r_1 r_2 + r_1^2)$$V = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{10\sqrt{3}}{3}\right) (6^2 + 4 \cdot 6 + 4^2)$$V = \frac{10\pi\sqrt{3}}{9} (36 + 24 + 16)$$V = \frac{10\pi\sqrt{3}}{9} \cdot 76$$V = \frac{760\pi\sqrt{3}}{9}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{760\pi\sqrt{3}}{9}$ см$^3$.

20.35. Радиус одного из оснований усечённого конуса в 4 раза больше радиуса другого основания. Высота усечённого конуса равна 8 см, а диагональ его осевого сечения — 17 см. Найдите объём усечённого конуса.

Обозначим радиусы оснований усечённого конуса как $R$ и $r$, где $R$ — радиус большего основания, а $r$ — радиус меньшего. Пусть $H$ — высота усечённого конуса, а $d$ — диагональ его осевого сечения.

Согласно условию задачи:
$R = 4r$
$H = 8$ см
$d = 17$ см

Осевое сечение усечённого конуса представляет собой равнобокую трапецию. Основания этой трапеции равны диаметрам оснований конуса ($2R$ и $2r$), а высота трапеции равна высоте конуса $H$. Диагональ трапеции $d$ образует прямоугольный треугольник с высотой $H$ (как одним катетом) и отрезком на большем основании (второй катет). Длина этого второго катета равна сумме радиусов $R+r$.

По теореме Пифагора для этого прямоугольного треугольника:
$d^2 = H^2 + (R+r)^2$

Подставим известные значения и решим уравнение относительно $(R+r)$:
$17^2 = 8^2 + (R+r)^2$
$289 = 64 + (R+r)^2$
$(R+r)^2 = 289 - 64 = 225$
$R+r = \sqrt{225} = 15$ см.

Теперь у нас есть система из двух уравнений для нахождения радиусов:
$\begin{cases} R = 4r \\ R+r = 15 \end{cases}$

Подставим первое уравнение во второе:
$4r + r = 15$
$5r = 15$
$r = 3$ см.

Теперь найдём $R$:
$R = 4r = 4 \cdot 3 = 12$ см.

Итак, радиусы оснований усечённого конуса равны 12 см и 3 см.

Объём усечённого конуса $V$ вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{3} \pi H (R^2 + Rr + r^2)$

Подставим найденные значения $R$, $r$ и данное значение $H$ в формулу:
$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 8 \cdot (12^2 + 12 \cdot 3 + 3^2)$
$V = \frac{8\pi}{3} (144 + 36 + 9)$
$V = \frac{8\pi}{3} (189)$

Выполним вычисления:
$V = 8\pi \cdot \frac{189}{3}$
$V = 8\pi \cdot 63$
$V = 504\pi$ см³.

Ответ: $504\pi$ см³.

20.36. Ромб со стороной 6 см и углом $60^\circ$ вращается вокруг прямой, проходящей через вершину острого угла ромба перпендикулярно его стороне. Найдите объём образовавшегося тела.

Для решения задачи введём декартову систему координат. Пусть ромб $ABCD$ имеет острый угол при вершине $A$. Поместим вершину $A$ в начало координат $(0, 0)$. Ось вращения проходит через $A$ и перпендикулярна стороне ромба, например, стороне $AD$. Выберем ось вращения в качестве оси $OY$, тогда сторона $AD$ будет лежать на оси $OX$.

Сторона ромба равна $a=6$ см, а острый угол $\angle DAB = 60^\circ$. Определим координаты вершин ромба.
Вершина $A$ находится в начале координат: $A(0, 0)$.
Так как сторона $AD$ лежит на оси $OX$ и её длина равна 6, то координаты вершины $D$ будут $D(6, 0)$.
Координаты вершины $B$, смежной с $A$, найдём, зная длину стороны $AB=6$ и угол $\angle DAB = 60^\circ$: $B(6\cos(60^\circ), 6\sin(60^\circ)) = B(3, 3\sqrt{3})$.
Координаты вершины $C$ можно найти, прибавив к координатам $B$ вектор $\vec{AD} = (6, 0)$: $C(3+6, 3\sqrt{3}+0) = C(9, 3\sqrt{3})$.

Тело вращения образуется при вращении плоской фигуры ромба вокруг оси $OY$. Объём этого тела можно найти методом колец (шайб), интегрируя по оси $y$ от 0 до $3\sqrt{3}$. Формула для объёма:$V = \pi \int_{y_{min}}^{y_{max}} (R_{outer}^2(y) - R_{inner}^2(y)) dy$,где $R_{outer}(y)$ и $R_{inner}(y)$ — внешний и внутренний радиусы кольца при данном значении $y$.

Для любой высоты $y$ в пределах от $0$ до $3\sqrt{3}$ найдём внутренний и внешний радиусы.
Внутренний радиус $R_{inner}(y)$ определяется абсциссой точки на стороне $AB$. Уравнение прямой $AB$: $y = (\tan 60^\circ) x = \sqrt{3}x$. Отсюда $x = \frac{y}{\sqrt{3}}$. Итак, $R_{inner}(y) = \frac{y}{\sqrt{3}}$.
Внешний радиус $R_{outer}(y)$ определяется абсциссой точки на стороне $CD$. Сторона $CD$ параллельна стороне $AB$, поэтому имеет тот же наклон $\sqrt{3}$. Уравнение прямой $CD$, проходящей через точку $D(6, 0)$, имеет вид: $y - 0 = \sqrt{3}(x - 6)$, откуда $x = \frac{y}{\sqrt{3}} + 6$. Итак, $R_{outer}(y) = \frac{y}{\sqrt{3}} + 6$.

Теперь вычислим интеграл:$V = \pi \int_{0}^{3\sqrt{3}} \left( \left(\frac{y}{\sqrt{3}} + 6\right)^2 - \left(\frac{y}{\sqrt{3}}\right)^2 \right) dy$$V = \pi \int_{0}^{3\sqrt{3}} \left( \frac{y^2}{3} + 2 \cdot 6 \cdot \frac{y}{\sqrt{3}} + 36 - \frac{y^2}{3} \right) dy$$V = \pi \int_{0}^{3\sqrt{3}} \left( \frac{12y}{\sqrt{3}} + 36 \right) dy$$V = \pi \left[ \frac{12}{\sqrt{3}} \frac{y^2}{2} + 36y \right]_{0}^{3\sqrt{3}} = \pi \left[ \frac{6y^2}{\sqrt{3}} + 36y \right]_{0}^{3\sqrt{3}}$$V = \pi \left( \frac{6(3\sqrt{3})^2}{\sqrt{3}} + 36(3\sqrt{3}) - 0 \right)$$V = \pi \left( \frac{6 \cdot 27}{\sqrt{3}} + 108\sqrt{3} \right) = \pi \left( \frac{162}{\sqrt{3}} + 108\sqrt{3} \right)$$V = \pi \left( \frac{162\sqrt{3}}{3} + 108\sqrt{3} \right) = \pi (54\sqrt{3} + 108\sqrt{3}) = 162\pi\sqrt{3}$ см$^3$.

Ответ: $162\pi\sqrt{3}$ см$^3$.

20.37. Основание равнобедренного треугольника равно 12 см, а боковая сторона — 10 см. Треугольник вращается вокруг прямой, проходящей через вершину угла при его основании перпендикулярно этому основанию. Найдите объём образовавшегося тела.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, где $AC$ — основание, а $AB$ и $BC$ — боковые стороны. По условию задачи, длина основания $AC = 12$ см, а длина боковой стороны $AB = BC = 10$ см. Треугольник вращается вокруг прямой, которая проходит через вершину угла при основании (для определённости, через вершину $A$) и перпендикулярна этому основанию.

Для нахождения объёма образовавшегося тела вращения воспользуемся второй теоремой Паппа-Гульдина. Согласно этой теореме, объём тела вращения равен произведению площади вращающейся фигуры $A$ на длину окружности $2\pi R$, описываемой центром масс (центроидом) этой фигуры:$V = 2\pi R A$где $A$ — площадь треугольника, а $R$ — расстояние от его центроида до оси вращения.

Сначала найдём площадь треугольника. Для этого проведём высоту $BH$ из вершины $B$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также и медианой, поэтому она делит основание пополам:$AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см. Теперь из прямоугольного треугольника $ABH$ по теореме Пифагора найдём длину высоты $BH$:$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ см. Площадь треугольника $ABC$ равна:$A = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$ см$^2$.

Далее найдём расстояние $R$ от центроида треугольника до оси вращения. Для этого введём декартову систему координат. Пусть ось вращения совпадает с осью ординат ($Oy$). Поскольку ось вращения проходит через вершину $A$ и перпендикулярна основанию $AC$, поместим вершину $A$ в начало координат $(0, 0)$, а основание $AC$ — на ось абсцисс ($Ox$).В этой системе координат вершины треугольника будут иметь следующие координаты:$A(0, 0)$, $C(12, 0)$, $B(6, 8)$. Координаты центроида $G(x_c, y_c)$ треугольника находятся как среднее арифметическое координат его вершин:$x_c = \frac{x_A + x_C + x_B}{3} = \frac{0 + 12 + 6}{3} = \frac{18}{3} = 6$ см.$y_c = \frac{y_A + y_C + y_B}{3} = \frac{0 + 0 + 8}{3} = \frac{8}{3}$ см. Расстояние $R$ от центроида $G(6, 8/3)$ до оси вращения ($Oy$) равно его абсциссе, то есть $R = x_c = 6$ см.

Теперь мы можем вычислить объём тела вращения, подставив найденные значения $A$ и $R$ в формулу:$V = 2\pi R A = 2\pi \cdot 6 \cdot 48 = 12\pi \cdot 48 = 576\pi$ см$^3$.

Ответ: $576\pi$ см$^3$.

20.38. Металлический шар радиуса 15 см расплавили и из полученного металла отлили несколько шаров, радиусы которых равны 3 см. Сколько отлили таких шаров? Потерями металла при переплавке можно пренебречь.

Поскольку по условию задачи потерями металла при переплавке можно пренебречь, то объем исходного большого шара равен сумме объемов маленьких шаров, которые из него отлили.

Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $R$ – это радиус шара.

1. Найдем объем исходного металлического шара с радиусом $R_1 = 15$ см:
$V_1 = \frac{4}{3}\pi \cdot (15)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 3375 = 4500\pi$ см$^3$.

2. Найдем объем одного маленького шара с радиусом $R_2 = 3$ см:
$V_2 = \frac{4}{3}\pi \cdot (3)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi$ см$^3$.

3. Чтобы найти количество маленьких шаров ($N$), которые можно отлить, разделим объем большого шара на объем одного маленького шара:
$N = \frac{V_1}{V_2} = \frac{4500\pi}{36\pi}$.

Сократим $\pi$ и выполним деление:
$N = \frac{4500}{36} = 125$.

Можно решить задачу проще, не вычисляя объемы до конца:
$N = \frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi R_1^3}{\frac{4}{3}\pi R_2^3} = \frac{R_1^3}{R_2^3} = (\frac{R_1}{R_2})^3 = (\frac{15}{3})^3 = 5^3 = 125$.

Ответ: 125.

20.39. Три металлических шара, радиусы которых равны 3 см, 4 см и 5 см, расплавили и из полученного металла отлили один шар. Каков радиус полученного шара? Потерями металла при переплавке можно пренебречь.

Поскольку потери металла при переплавке можно пренебречь, объем нового шара будет равен сумме объемов трех исходных шаров.

Формула для вычисления объема шара: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $R$ – радиус шара.

Пусть $r_1 = 3$ см, $r_2 = 4$ см, $r_3 = 5$ см – радиусы исходных шаров, а $R$ – радиус полученного шара.

Объем нового шара $V$ равен сумме объемов трех старых шаров $V_1, V_2, V_3$:$
$V = V_1 + V_2 + V_3$
$\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi r_1^3 + \frac{4}{3}\pi r_2^3 + \frac{4}{3}\pi r_3^3$

Сократим общий множитель $\frac{4}{3}\pi$ в обеих частях уравнения:$
$R^3 = r_1^3 + r_2^3 + r_3^3$

Подставим значения радиусов в формулу:$
$R^3 = 3^3 + 4^3 + 5^3$
$R^3 = 27 + 64 + 125$
$R^3 = 216$

Чтобы найти радиус $R$, извлечем кубический корень из 216:$
$R = \sqrt[3]{216}$
$R = 6$ см.

Ответ: 6 см.

20.40. Высота конуса равна $H$, а его осевое сечение является правильным треугольником. Найдите объём шара, описанного около данного конуса.

По условию задачи, высота конуса равна $H$, а его осевое сечение является правильным (равносторонним) треугольником. Высота конуса является также высотой этого треугольника.

Шар, описанный около конуса, имеет своим большим кругом окружность, описанную около осевого сечения конуса. Таким образом, радиус шара $R$ равен радиусу окружности, описанной около равностороннего треугольника с высотой $H$.

В равностороннем треугольнике центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан (центроидом). Эта точка делит высоту в отношении 2:1, считая от вершины. Следовательно, радиус описанной окружности составляет $\frac{2}{3}$ от высоты треугольника.

Таким образом, радиус шара $R$ связан с высотой конуса $H$ следующим соотношением:

$R = \frac{2}{3}H$

Объём шара вычисляется по формуле:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$

Подставим найденное выражение для $R$ в эту формулу:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{2}{3}H\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{8}{27}H^3\right) = \frac{4 \cdot 8}{3 \cdot 27}\pi H^3 = \frac{32}{81}\pi H^3$

Ответ: $\frac{32}{81}\pi H^3$

20.41. Образующая конуса равна $a$, а угол между нею и плоскостью основания равен $\alpha$. Найдите объём шара, описанного около данного конуса.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса и описанного около него шара. Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, а сечением шара — большой круг, который является описанной окружностью для этого треугольника. Радиус этой окружности, который мы обозначим как $R$, и есть радиус описанного шара.

Боковые стороны этого равнобедренного треугольника равны образующей конуса, то есть $a$. Угол между образующей и плоскостью основания конуса, равный $\alpha$, является углом при основании этого треугольника. Следовательно, углы треугольника равны $\alpha$, $\alpha$ и $180^\circ - 2\alpha$.

Для нахождения радиуса $R$ описанной окружности воспользуемся расширенной теоремой синусов, которая гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности ($2R$).

В нашем треугольнике сторона равна $a$, а противолежащий ей угол равен $\alpha$. Применим теорему синусов: $\frac{a}{\sin \alpha} = 2R$

Отсюда выразим радиус шара $R$: $R = \frac{a}{2 \sin \alpha}$

Теперь, зная радиус шара, мы можем найти его объем по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$. Подставим найденное выражение для $R$: $V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{a}{2 \sin \alpha}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{a^3}{8 \sin^3 \alpha}$

Упростив выражение, получим окончательный результат: $V = \frac{4\pi a^3}{24 \sin^3 \alpha} = \frac{\pi a^3}{6 \sin^3 \alpha}$

Ответ: $\frac{\pi a^3}{6 \sin^3 \alpha}$.

20.42. Центр шара, радиус которого равен 1 см, расположен на ребре двугранного угла, равного $\frac{\pi}{4}$. Найдите радиус шара, объём которого равен объёму части данного шара, принадлежащей двугранному углу.

Пусть $R$ — радиус данного шара, а $\alpha$ — величина двугранного угла. По условию задачи, $R = 1$ см и $\alpha = \frac{\pi}{4}$.

Сначала найдем объём части данного шара, которая находится внутри двугранного угла. Объём всего шара ($V_{шара}$) вычисляется по формуле: $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$

Подставляя значение $R=1$ см, получаем: $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi (1)^3 = \frac{4}{3}\pi$ см³.

Объём части шара ($V_{части}$), принадлежащей двугранному углу, составляет долю от объёма всего шара. Эта доля равна отношению величины двугранного угла $\alpha$ к полному углу, равному $2\pi$. $V_{части} = V_{шара} \cdot \frac{\alpha}{2\pi}$

Подставим известные значения, чтобы найти $V_{части}$: $V_{части} = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{\pi/4}{2\pi} = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{\pi}{4 \cdot 2\pi} = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{1}{8} = \frac{4\pi}{24} = \frac{\pi}{6}$ см³.

По условию, объём нового шара ($V_{нового}$) равен объёму этой части: $V_{нового} = V_{части} = \frac{\pi}{6}$ см³.

Пусть $r$ — искомый радиус нового шара. Объём нового шара также определяется формулой: $V_{нового} = \frac{4}{3}\pi r^3$

Теперь мы можем приравнять два выражения для $V_{нового}$ и найти $r$: $\frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{\pi}{6}$

Разделим обе части уравнения на $\pi$ и выразим $r^3$: $\frac{4}{3} r^3 = \frac{1}{6}$ $r^3 = \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{4}$ $r^3 = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$

Извлекая кубический корень из обеих частей, находим $r$: $r = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$ см.

Ответ: $0,5$ см.

20.43. В круге проведена хорда $MN$, параллельная диаметру $AB$. Круговой сегмент, ограниченный хордой $MN$ и не имеющий общих точек с диаметром $AB$, вращается вокруг прямой $AB$. Найдите объём образовавшегося тела, если $MN = 1 \text{ см}$.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть центр круга находится в начале координат $O(0,0)$, а диаметр $AB$ лежит на оси абсцисс $Ox$. Уравнение окружности, ограничивающей данный круг, будет $x^2 + y^2 = R^2$, где $R$ — радиус круга.

Поскольку хорда $MN$ параллельна диаметру $AB$ (оси $Ox$), ее можно представить уравнением $y = h$, где $h$ — расстояние от центра круга до хорды. Пусть концы хорды имеют координаты $M(-x_0, h)$ и $N(x_0, h)$. Тогда длина хорды $MN$ равна $2x_0$.

Согласно условию задачи, $MN = 1$ см, следовательно, $2x_0 = 1$, и $x_0 = 1/2$ см.

Точки $M$ и $N$ принадлежат окружности, значит, их координаты удовлетворяют ее уравнению:

$x_0^2 + h^2 = R^2$

Подставим известное значение $x_0 = 1/2$:

$(1/2)^2 + h^2 = R^2$

$1/4 + h^2 = R^2$

Отсюда мы можем выразить важную для дальнейших вычислений величину: $R^2 - h^2 = 1/4$.

Тело вращения образуется при вращении кругового сегмента, ограниченного хордой $MN$ и соответствующей дугой, вокруг прямой $AB$, то есть вокруг оси $Ox$. В условии указано, что рассматривается сегмент, "не имеющий общих точек с диаметром $AB$". Это означает, что мы берем меньший из двух сегментов, на которые хорда делит круг. В нашей системе координат это область, ограниченная сверху дугой окружности $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ и снизу хордой $y = h$, для $x$ в пределах от $-1/2$ до $1/2$.

Объём такого тела вращения можно вычислить с помощью метода колец (обобщение метода дисков) по формуле:

$V = \pi \int_{a}^{b} (y_{внешнее}(x)^2 - y_{внутреннее}(x)^2) dx$

В нашем случае, пределы интегрирования $a = -1/2$ и $b = 1/2$. Внешний радиус — это расстояние от оси вращения до дуги окружности, $y_{внешнее} = \sqrt{R^2 - x^2}$. Внутренний радиус — это расстояние от оси вращения до хорды, $y_{внутреннее} = h$.

Подставляем эти значения в интеграл:

$V = \pi \int_{-1/2}^{1/2} [(\sqrt{R^2 - x^2})^2 - h^2] dx = \pi \int_{-1/2}^{1/2} (R^2 - x^2 - h^2) dx$

Перегруппируем слагаемые в подынтегральном выражении и используем ранее найденное соотношение $R^2 - h^2 = 1/4$:

$V = \pi \int_{-1/2}^{1/2} [(R^2 - h^2) - x^2] dx = \pi \int_{-1/2}^{1/2} (1/4 - x^2) dx$

Теперь вычислим полученный определённый интеграл:

$\int (1/4 - x^2) dx = \frac{x}{4} - \frac{x^3}{3}$

$V = \pi \left[ \frac{x}{4} - \frac{x^3}{3} \right]_{-1/2}^{1/2} = \pi \left( \left( \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} - \frac{(1/2)^3}{3} \right) - \left( \frac{1}{4} \cdot (-\frac{1}{2}) - \frac{(-1/2)^3}{3} \right) \right)$

$V = \pi \left( \left( \frac{1}{8} - \frac{1/8}{3} \right) - \left( -\frac{1}{8} - \frac{-1/8}{3} \right) \right) = \pi \left( \left( \frac{1}{8} - \frac{1}{24} \right) - \left( -\frac{1}{8} + \frac{1}{24} \right) \right)$

$V = \pi \left( \frac{3-1}{24} - \frac{-3+1}{24} \right) = \pi \left( \frac{2}{24} - \frac{-2}{24} \right) = \pi \left( \frac{2}{24} + \frac{2}{24} \right) = \pi \cdot \frac{4}{24} = \frac{\pi}{6}$

Объём образовавшегося тела вращения не зависит от радиуса исходного круга, а только от длины хорды.

Ответ: $\frac{\pi}{6}$ см$^3$.