Номер 20.36, страница 195 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 20.36, страница 195.

Условие.

20.36. Ромб со стороной 6 см и углом $60^\circ$ вращается вокруг прямой, проходящей через вершину острого угла ромба перпендикулярно его стороне. Найдите объём образовавшегося тела.

Решение 1.

Решение 3.

Для решения задачи введём декартову систему координат. Пусть ромб $ABCD$ имеет острый угол при вершине $A$. Поместим вершину $A$ в начало координат $(0, 0)$. Ось вращения проходит через $A$ и перпендикулярна стороне ромба, например, стороне $AD$. Выберем ось вращения в качестве оси $OY$, тогда сторона $AD$ будет лежать на оси $OX$.

Сторона ромба равна $a=6$ см, а острый угол $\angle DAB = 60^\circ$. Определим координаты вершин ромба.
Вершина $A$ находится в начале координат: $A(0, 0)$.
Так как сторона $AD$ лежит на оси $OX$ и её длина равна 6, то координаты вершины $D$ будут $D(6, 0)$.
Координаты вершины $B$, смежной с $A$, найдём, зная длину стороны $AB=6$ и угол $\angle DAB = 60^\circ$: $B(6\cos(60^\circ), 6\sin(60^\circ)) = B(3, 3\sqrt{3})$.
Координаты вершины $C$ можно найти, прибавив к координатам $B$ вектор $\vec{AD} = (6, 0)$: $C(3+6, 3\sqrt{3}+0) = C(9, 3\sqrt{3})$.

Тело вращения образуется при вращении плоской фигуры ромба вокруг оси $OY$. Объём этого тела можно найти методом колец (шайб), интегрируя по оси $y$ от 0 до $3\sqrt{3}$. Формула для объёма:$V = \pi \int_{y_{min}}^{y_{max}} (R_{outer}^2(y) - R_{inner}^2(y)) dy$,где $R_{outer}(y)$ и $R_{inner}(y)$ — внешний и внутренний радиусы кольца при данном значении $y$.

Для любой высоты $y$ в пределах от $0$ до $3\sqrt{3}$ найдём внутренний и внешний радиусы.
Внутренний радиус $R_{inner}(y)$ определяется абсциссой точки на стороне $AB$. Уравнение прямой $AB$: $y = (\tan 60^\circ) x = \sqrt{3}x$. Отсюда $x = \frac{y}{\sqrt{3}}$. Итак, $R_{inner}(y) = \frac{y}{\sqrt{3}}$.
Внешний радиус $R_{outer}(y)$ определяется абсциссой точки на стороне $CD$. Сторона $CD$ параллельна стороне $AB$, поэтому имеет тот же наклон $\sqrt{3}$. Уравнение прямой $CD$, проходящей через точку $D(6, 0)$, имеет вид: $y - 0 = \sqrt{3}(x - 6)$, откуда $x = \frac{y}{\sqrt{3}} + 6$. Итак, $R_{outer}(y) = \frac{y}{\sqrt{3}} + 6$.

Теперь вычислим интеграл:$V = \pi \int_{0}^{3\sqrt{3}} \left( \left(\frac{y}{\sqrt{3}} + 6\right)^2 - \left(\frac{y}{\sqrt{3}}\right)^2 \right) dy$$V = \pi \int_{0}^{3\sqrt{3}} \left( \frac{y^2}{3} + 2 \cdot 6 \cdot \frac{y}{\sqrt{3}} + 36 - \frac{y^2}{3} \right) dy$$V = \pi \int_{0}^{3\sqrt{3}} \left( \frac{12y}{\sqrt{3}} + 36 \right) dy$$V = \pi \left[ \frac{12}{\sqrt{3}} \frac{y^2}{2} + 36y \right]_{0}^{3\sqrt{3}} = \pi \left[ \frac{6y^2}{\sqrt{3}} + 36y \right]_{0}^{3\sqrt{3}}$$V = \pi \left( \frac{6(3\sqrt{3})^2}{\sqrt{3}} + 36(3\sqrt{3}) - 0 \right)$$V = \pi \left( \frac{6 \cdot 27}{\sqrt{3}} + 108\sqrt{3} \right) = \pi \left( \frac{162}{\sqrt{3}} + 108\sqrt{3} \right)$$V = \pi \left( \frac{162\sqrt{3}}{3} + 108\sqrt{3} \right) = \pi (54\sqrt{3} + 108\sqrt{3}) = 162\pi\sqrt{3}$ см$^3$.

Ответ: $162\pi\sqrt{3}$ см$^3$.