gdz.top
Номер 20.41, страница 195 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-360-10036-2
Популярные ГДЗ в 11 классе
Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы. Параграф 20. Объёмы тел вращения - номер 20.41, страница 195.
№20.40
№20.41 (с. 195)
Условие. №20.41 (с. 195)
20.41. Образующая конуса равна $a$, а угол между нею и плоскостью основания равен $\alpha$. Найдите объём шара, описанного около данного конуса.
Решение 1. №20.41 (с. 195)
Решение 3. №20.41 (с. 195)
Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса и описанного около него шара. Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, а сечением шара — большой круг, который является описанной окружностью для этого треугольника. Радиус этой окружности, который мы обозначим как $R$, и есть радиус описанного шара.
Боковые стороны этого равнобедренного треугольника равны образующей конуса, то есть $a$. Угол между образующей и плоскостью основания конуса, равный $\alpha$, является углом при основании этого треугольника. Следовательно, углы треугольника равны $\alpha$, $\alpha$ и $180^\circ - 2\alpha$.
Для нахождения радиуса $R$ описанной окружности воспользуемся расширенной теоремой синусов, которая гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности ($2R$).
В нашем треугольнике сторона равна $a$, а противолежащий ей угол равен $\alpha$. Применим теорему синусов: $\frac{a}{\sin \alpha} = 2R$
Отсюда выразим радиус шара $R$: $R = \frac{a}{2 \sin \alpha}$
Теперь, зная радиус шара, мы можем найти его объем по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$. Подставим найденное выражение для $R$: $V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{a}{2 \sin \alpha}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{a^3}{8 \sin^3 \alpha}$
Упростив выражение, получим окончательный результат: $V = \frac{4\pi a^3}{24 \sin^3 \alpha} = \frac{\pi a^3}{6 \sin^3 \alpha}$
Ответ: $\frac{\pi a^3}{6 \sin^3 \alpha}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 11 класс, для упражнения номер 20.41 расположенного на странице 195 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №20.41 (с. 195), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.