Номер 20.48, страница 196 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.48. Одна из сторон основания треугольной пирамиды равна 12 см, а противолежащий ей угол основания — $60^\circ$. Боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом $30^\circ$. Найдите объём конуса, описанного около данной пирамиды.

Объём конуса, описанного около пирамиды, вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$, где $R$ — радиус основания конуса, а $H$ — его высота.

Основанием конуса является круг, описанный около основания пирамиды, а вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды. Следовательно, радиус основания конуса $R$ равен радиусу окружности, описанной около треугольника в основании пирамиды, а высота конуса $H$ равна высоте пирамиды.

1. Найдём радиус основания конуса R. Для нахождения радиуса окружности, описанной около треугольника, воспользуемся следствием из теоремы синусов: $R = \frac{a}{2 \sin \alpha}$, где $a$ — сторона треугольника, а $\alpha$ — противолежащий ей угол. По условию задачи, сторона основания пирамиды равна $a = 12$ см, а противолежащий ей угол $\alpha = 60°$. Подставляем эти значения в формулу: $R = \frac{12}{2 \sin 60°} = \frac{12}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{3}}$ Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе: $R = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

2. Найдём высоту конуса H. Поскольку все боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания. Высота пирамиды $H$, боковое ребро и радиус описанной окружности $R$ образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике $R$ является катетом, прилежащим к углу наклона бокового ребра (30°), а $H$ — противолежащим катетом. Следовательно, мы можем выразить высоту через тангенс угла наклона: $\tan 30° = \frac{H}{R}$ Отсюда $H = R \cdot \tan 30°$. Мы знаем, что $\tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}}$. $H = 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 4$ см.

3. Вычислим объём конуса. Теперь, зная радиус $R = 4\sqrt{3}$ см и высоту $H = 4$ см, мы можем найти объём конуса: $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi (4\sqrt{3})^2 \cdot 4$ $V = \frac{1}{3} \pi (16 \cdot 3) \cdot 4 = \frac{1}{3} \pi \cdot 48 \cdot 4$ $V = 16 \pi \cdot 4 = 64\pi$ см³.

Ответ: $64\pi$ см³.