Номер 20.53, страница 196 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.53. Докажите, что объём конуса равен трети произведения его боковой поверхности и расстояния от центра основания до образующей.

Обозначим радиус основания конуса как $R$, высоту как $H$, а длину образующей как $L$.

Стандартная формула для объёма конуса ($V$) выглядит следующим образом: $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$.

Площадь боковой поверхности конуса ($S_{бок}$) вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi R L$.

Требуется доказать, что $V = \frac{1}{3} S_{бок} \cdot d$, где $d$ — расстояние от центра основания до образующей.

Для нахождения $d$ рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой равнобедренный треугольник. Половина этого сечения — это прямоугольный треугольник, катетами которого являются радиус основания $R$ и высота конуса $H$, а гипотенузой — образующая $L$.

Расстояние $d$ от центра основания (вершина прямого угла) до образующей (гипотенуза) является высотой этого прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе.

Площадь ($S_{\triangle}$) этого прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами.

1. Через половину произведения катетов: $S_{\triangle} = \frac{1}{2} R H$.

2. Через половину произведения гипотенузы на высоту, опущенную на неё: $S_{\triangle} = \frac{1}{2} L d$.

Приравнивая оба выражения для площади, получим: $\frac{1}{2} R H = \frac{1}{2} L d$.

Из этого равенства следует, что $R H = L d$. Выразим отсюда $d$: $d = \frac{R H}{L}$.

Теперь подставим выражения для $S_{бок}$ и $d$ в правую часть доказываемой формулы ($\frac{1}{3} S_{бок} \cdot d$): $\frac{1}{3} S_{бок} \cdot d = \frac{1}{3} (\pi R L) \cdot \left(\frac{R H}{L}\right)$.

Сократив $L$ в числителе и знаменателе, получаем: $\frac{1}{3} \pi R \cdot R H = \frac{1}{3} \pi R^2 H$.

Полученное выражение $\frac{1}{3} \pi R^2 H$ в точности совпадает с формулой объёма конуса $V$. Следовательно, равенство $V = \frac{1}{3} S_{бок} \cdot d$ является верным, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что объём конуса равен трети произведения его боковой поверхности и расстояния от центра основания до образующей, доказано.