Номер 20.57, страница 197 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.57. Окружность, центр которой принадлежит гипотенузе прямоугольного треугольника, касается большего катета и проходит через вершину противолежащего ему острого угла. Найдите радиус окружности, если катеты равны 5 см и 12 см.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Катеты треугольника равны $AC = 5$ см и $BC = 12$ см. По условию, окружность касается большего катета, то есть $BC$.

Найдем длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора:$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ см.

Пусть $O$ - центр окружности, а $R$ - ее радиус. По условию, центр $O$ лежит на гипотенузе $AB$.

Окружность касается большего катета $BC$ в точке $D$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $OD \perp BC$ и длина отрезка $OD$ равна радиусу, $OD = R$.

Окружность проходит через вершину острого угла, противолежащего большему катету $BC$. Этим углом является $\angle A$. Значит, расстояние от центра окружности $O$ до вершины $A$ равно радиусу: $OA = R$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ODB$ и $\triangle ACB$. Так как $AC \perp BC$ и $OD \perp BC$, то прямые $OD$ и $AC$ параллельны ($OD \parallel AC$). Поскольку $OD \parallel AC$, то треугольник $\triangle ODB$ подобен треугольнику $\triangle ACB$ по двум углам ($\angle B$ - общий, $\angle ODB = \angle ACB = 90^\circ$).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: $\frac{OD}{AC} = \frac{OB}{AB}$.

Подставим в это соотношение известные значения: $OD = R$ (радиус окружности), $AC = 5$ см (меньший катет), $AB = 13$ см (гипотенуза) и $OB = AB - OA = 13 - R$ (так как точка $O$ лежит на отрезке $AB$).

Получаем уравнение: $\frac{R}{5} = \frac{13 - R}{13}$.

Решим это уравнение относительно $R$, используя свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$13 \cdot R = 5 \cdot (13 - R)$
$13R = 65 - 5R$
$13R + 5R = 65$
$18R = 65$
$R = \frac{65}{18}$ см.

Ответ: $\frac{65}{18}$ см.