Номер 20.50, страница 196 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.50. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см, а двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $60^\circ$. Найдите объём конуса, вписанного в данную пирамиду.

Для того чтобы найти объем конуса, вписанного в пирамиду, необходимо определить радиус его основания $R$ и высоту $H$. Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$.

Конус считается вписанным в пирамиду, если их вершины совпадают, а основание конуса (окружность) вписано в основание пирамиды (многоугольник). Таким образом, радиус основания конуса $R$ будет равен радиусу $r$ окружности, вписанной в треугольник в основании пирамиды, а высота конуса $H$ будет равна высоте пирамиды.

Условие равенства всех двугранных углов при ребрах основания ($60^\circ$) означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание.

1. Нахождение радиуса основания конуса (радиуса вписанной окружности).

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами $a = 6$ см и $b = 8$ см. Для нахождения радиуса вписанной окружности сначала вычислим гипотенузу $c$ по теореме Пифагора: $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

Радиус $r$ окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находится по формуле: $r = \frac{a + b - c}{2}$ Подставив значения сторон, получим: $r = \frac{6 + 8 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см. Следовательно, радиус основания конуса $R = r = 2$ см.

2. Нахождение высоты конуса (высоты пирамиды).

Высота пирамиды $H$, радиус вписанной окружности $r$ и апофема боковой грани образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике $r$ является катетом, прилежащим к углу, равному линейному углу двугранного угла ($60^\circ$), а $H$ — противолежащим катетом.

Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике: $\tan(60^\circ) = \frac{H}{r}$ Отсюда выражаем высоту $H$: $H = r \cdot \tan(60^\circ) = 2 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см.

3. Вычисление объема конуса.

Теперь, зная радиус основания $R = 2$ см и высоту $H = 2\sqrt{3}$ см, подставим эти значения в формулу для объема конуса: $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi \cdot (2)^2 \cdot (2\sqrt{3}) = \frac{1}{3}\pi \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} = \frac{8\pi\sqrt{3}}{3}$ см³.

Ответ: $\frac{8\pi\sqrt{3}}{3}$ см³.