Номер 20.34, страница 195 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.34. Радиусы оснований усечённого конуса равны 4 см и 6 см. Образующую усечённого конуса видно из точки пересечения диагоналей его осевого сечения, проходящего через эту образующую, под углом $60^\circ$. Найдите объём усечённого конуса.

Осевым сечением усечённого конуса является равнобокая трапеция. Пусть это будет трапеция ABCD, где AD и BC — основания, соответствующие диаметрам оснований конуса.

Размеры оснований трапеции равны:
Нижнее основание: $AD = 2r_2 = 2 \cdot 6 = 12$ см.
Верхнее основание: $BC = 2r_1 = 2 \cdot 4 = 8$ см.
Боковые стороны AB и CD являются образующими усечённого конуса. Обозначим их длину как $l$. Высота трапеции $h$ является высотой усечённого конуса.

Пусть диагонали трапеции AC и BD пересекаются в точке O. Согласно условию, образующая видна из точки O под углом 60°, то есть $\angle COD = 60^\circ$.

Треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle AOD$ подобны (по двум углам, так как $BC \parallel AD$). Коэффициент подобия $k$ равен отношению оснований:$k = \frac{BC}{AD} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$. Следовательно, отношение отрезков диагоналей также равно $k$:$\frac{OC}{OA} = \frac{OB}{OD} = \frac{2}{3}$. Так как трапеция равнобокая, ее диагонали равны: $AC = BD$. Из этого следует, что $OC = OB$ и $OA = OD$. Обозначим $OC = 2x$, тогда $OD = 3x$.

Рассмотрим треугольник $\triangle COD$. По теореме косинусов для стороны CD (которая является образующей $l$):$l^2 = CD^2 = OC^2 + OD^2 - 2 \cdot OC \cdot OD \cdot \cos(\angle COD)$$l^2 = (2x)^2 + (3x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot (3x) \cdot \cos(60^\circ)$$l^2 = 4x^2 + 9x^2 - 12x^2 \cdot \frac{1}{2} = 13x^2 - 6x^2 = 7x^2$.

Для нахождения высоты $h$ проведем высоту $CE$ из вершины C на основание AD. В прямоугольном треугольнике $\triangle CDE$ катет $ED$ равен полуразности оснований:$ED = \frac{AD - BC}{2} = \frac{12 - 8}{2} = 2$ см. По теореме Пифагора, $l^2 = CE^2 + ED^2 = h^2 + 2^2 = h^2 + 4$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACE$. Его катеты $CE = h$ и $AE = AD - ED = 12 - 2 = 10$ см. Гипотенуза $AC = OC + OA = 2x + 3x = 5x$. По теореме Пифагора:$AC^2 = AE^2 + CE^2$$(5x)^2 = 10^2 + h^2$$25x^2 = 100 + h^2$.

Мы получили систему уравнений для $x^2$ и $h^2$:1) $l^2 = 7x^2$2) $l^2 = h^2 + 4$Из этих двух уравнений следует, что $7x^2 = h^2 + 4$, откуда $x^2 = \frac{h^2 + 4}{7}$. Подставим это выражение в уравнение $25x^2 = 100 + h^2$:$25 \left(\frac{h^2 + 4}{7}\right) = 100 + h^2$$25(h^2 + 4) = 7(100 + h^2)$$25h^2 + 100 = 700 + 7h^2$$18h^2 = 600$$h^2 = \frac{600}{18} = \frac{100}{3}$$h = \sqrt{\frac{100}{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$ см.

Теперь, зная высоту и радиусы оснований, найдем объём усечённого конуса по формуле:$V = \frac{1}{3}\pi h (r_2^2 + r_1 r_2 + r_1^2)$$V = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{10\sqrt{3}}{3}\right) (6^2 + 4 \cdot 6 + 4^2)$$V = \frac{10\pi\sqrt{3}}{9} (36 + 24 + 16)$$V = \frac{10\pi\sqrt{3}}{9} \cdot 76$$V = \frac{760\pi\sqrt{3}}{9}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{760\pi\sqrt{3}}{9}$ см$^3$.