Номер 20.27, страница 194 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.27. Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор, градусная мера дуги которого составляет $120^\circ$. Найдите объём конуса, если площадь его боковой поверхности равна $9\pi \text{ см}^2$.

Пусть $l$ - образующая конуса, $r$ - радиус его основания, а $h$ - высота. Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор. Радиус этого сектора равен образующей конуса $l$, а его площадь равна площади боковой поверхности конуса $S_{бок}$.

Площадь сектора вычисляется по формуле $S_{сектора} = \frac{\pi l^2 \alpha}{360}$, где $\alpha$ - градусная мера дуги сектора. По условию, площадь боковой поверхности конуса $S_{бок} = 9\pi \text{ см}^2$ и угол сектора $\alpha = 120^\circ$. Приравняем площадь сектора к площади боковой поверхности и найдём образующую $l$:
$9\pi = \frac{\pi l^2 \cdot 120}{360}$
Упростим правую часть:
$9\pi = \frac{\pi l^2}{3}$
Отсюда выразим $l^2$:
$l^2 = 9 \cdot 3 = 27$
$l = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \text{ см}$.

Площадь боковой поверхности конуса также можно найти по формуле $S_{бок} = \pi r l$. Подставив известные значения $S_{бок}$ и $l$, найдём радиус основания конуса $r$:
$9\pi = \pi \cdot r \cdot 3\sqrt{3}$
Выразим $r$:
$r = \frac{9\pi}{3\pi\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} \text{ см}$.

Высота конуса $h$, радиус основания $r$ и образующая $l$ связаны теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике, где $l$ - гипотенуза: $l^2 = r^2 + h^2$. Найдём высоту $h$:
$h^2 = l^2 - r^2$
$h^2 = (3\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2 = 27 - 3 = 24$
$h = \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6} \text{ см}$.

Теперь вычислим объём конуса по формуле $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$:
$V = \frac{1}{3}\pi (\sqrt{3})^2 \cdot (2\sqrt{6})$
$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 3 \cdot 2\sqrt{6}$
$V = 2\pi\sqrt{6} \text{ см}^3$.

Ответ: $2\pi\sqrt{6} \text{ см}^3$.