Номер 20.22, страница 194 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.22. Через две образующие конуса, угол между которыми равен $\alpha$, проведена плоскость. Угол между этой плоскостью и плоскостью основания конуса равен $\beta$. Найдите объём конуса, если его образующая равна $b$.

Пусть $S$ - вершина конуса, $O$ - центр его основания, $H=SO$ - высота, $R$ - радиус основания. Пусть $SA$ и $SB$ - две образующие, через которые проведена плоскость. По условию, длина образующей $SA = SB = b$, а угол между ними $\angle ASB = \alpha$.

Объём конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$. Для решения задачи нам необходимо выразить $R$ и $H$ через заданные величины $b$, $\alpha$ и $\beta$.

Сечение конуса плоскостью, проходящей через две образующие, представляет собой равнобедренный треугольник $SAB$. Проведем в этом треугольнике высоту $SM$ к основанию $AB$. Так как треугольник $SAB$ равнобедренный, $SM$ является также медианой и биссектрисой. Следовательно, $M$ - середина хорды $AB$, и $\angle ASM = \angle BSM = \frac{\alpha}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SAM$. В нем гипотенуза $SA = b$ и угол $\angle ASM = \frac{\alpha}{2}$. Найдем длину катетов $SM$ и $AM$:
$SM = SA \cdot \cos(\frac{\alpha}{2}) = b \cos(\frac{\alpha}{2})$
$AM = SA \cdot \sin(\frac{\alpha}{2}) = b \sin(\frac{\alpha}{2})$

Угол между секущей плоскостью $(SAB)$ и плоскостью основания конуса - это двугранный угол при ребре $AB$. Для его измерения построим линейный угол. Так как $SM$ - высота в $\triangle SAB$, то $SM \perp AB$. В плоскости основания $\triangle OAB$ является равнобедренным ($OA = OB = R$), и $OM$ является медианой, проведенной к основанию $AB$, а значит, и высотой: $OM \perp AB$. Таким образом, угол $\angle SMO$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями, и по условию $\angle SMO = \beta$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$ (угол $\angle SOM = 90^\circ$, так как $SO$ - высота конуса). В этом треугольнике мы знаем гипотенузу $SM = b \cos(\frac{\alpha}{2})$ и угол $\beta$. Можем найти высоту конуса $H$ и отрезок $OM$:
$H = SO = SM \cdot \sin(\beta) = b \cos(\frac{\alpha}{2}) \sin\beta$
$OM = SM \cdot \cos(\beta) = b \cos(\frac{\alpha}{2}) \cos\beta$

Для нахождения радиуса основания $R$ рассмотрим прямоугольный треугольник $OAM$ в плоскости основания (угол $\angle OMA = 90^\circ$). По теореме Пифагора: $R^2 = OA^2 = OM^2 + AM^2$. Подставим найденные ранее выражения для $OM$ и $AM$:
$R^2 = (b \cos(\frac{\alpha}{2}) \cos\beta)^2 + (b \sin(\frac{\alpha}{2}))^2 = b^2 \cos^2(\frac{\alpha}{2}) \cos^2\beta + b^2 \sin^2(\frac{\alpha}{2})$

Упростим выражение для $R^2$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:
$R^2 = b^2 (\cos^2(\frac{\alpha}{2}) \cos^2\beta + 1 - \cos^2(\frac{\alpha}{2}))$
$R^2 = b^2 (1 - \cos^2(\frac{\alpha}{2}) + \cos^2(\frac{\alpha}{2}) \cos^2\beta)$
$R^2 = b^2 (1 - \cos^2(\frac{\alpha}{2}) (1 - \cos^2\beta))$
$R^2 = b^2 (1 - \cos^2(\frac{\alpha}{2}) \sin^2\beta)$

Теперь, когда у нас есть выражения для $H$ и $R^2$, мы можем найти объём конуса:
$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi \left[ b^2 (1 - \cos^2(\frac{\alpha}{2}) \sin^2\beta) \right] \left[ b \cos(\frac{\alpha}{2}) \sin\beta \right]$
$V = \frac{1}{3} \pi b^3 \sin\beta \cos(\frac{\alpha}{2}) (1 - \sin^2\beta \cos^2(\frac{\alpha}{2}))$

Ответ: $V = \frac{1}{3} \pi b^3 \sin\beta \cos(\frac{\alpha}{2}) (1 - \sin^2\beta \cos^2(\frac{\alpha}{2}))$