Страница 194 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.22. Через две образующие конуса, угол между которыми равен $\alpha$, проведена плоскость. Угол между этой плоскостью и плоскостью основания конуса равен $\beta$. Найдите объём конуса, если его образующая равна $b$.

Пусть $S$ - вершина конуса, $O$ - центр его основания, $H=SO$ - высота, $R$ - радиус основания. Пусть $SA$ и $SB$ - две образующие, через которые проведена плоскость. По условию, длина образующей $SA = SB = b$, а угол между ними $\angle ASB = \alpha$.

Объём конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$. Для решения задачи нам необходимо выразить $R$ и $H$ через заданные величины $b$, $\alpha$ и $\beta$.

Сечение конуса плоскостью, проходящей через две образующие, представляет собой равнобедренный треугольник $SAB$. Проведем в этом треугольнике высоту $SM$ к основанию $AB$. Так как треугольник $SAB$ равнобедренный, $SM$ является также медианой и биссектрисой. Следовательно, $M$ - середина хорды $AB$, и $\angle ASM = \angle BSM = \frac{\alpha}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SAM$. В нем гипотенуза $SA = b$ и угол $\angle ASM = \frac{\alpha}{2}$. Найдем длину катетов $SM$ и $AM$:
$SM = SA \cdot \cos(\frac{\alpha}{2}) = b \cos(\frac{\alpha}{2})$
$AM = SA \cdot \sin(\frac{\alpha}{2}) = b \sin(\frac{\alpha}{2})$

Угол между секущей плоскостью $(SAB)$ и плоскостью основания конуса - это двугранный угол при ребре $AB$. Для его измерения построим линейный угол. Так как $SM$ - высота в $\triangle SAB$, то $SM \perp AB$. В плоскости основания $\triangle OAB$ является равнобедренным ($OA = OB = R$), и $OM$ является медианой, проведенной к основанию $AB$, а значит, и высотой: $OM \perp AB$. Таким образом, угол $\angle SMO$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями, и по условию $\angle SMO = \beta$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$ (угол $\angle SOM = 90^\circ$, так как $SO$ - высота конуса). В этом треугольнике мы знаем гипотенузу $SM = b \cos(\frac{\alpha}{2})$ и угол $\beta$. Можем найти высоту конуса $H$ и отрезок $OM$:
$H = SO = SM \cdot \sin(\beta) = b \cos(\frac{\alpha}{2}) \sin\beta$
$OM = SM \cdot \cos(\beta) = b \cos(\frac{\alpha}{2}) \cos\beta$

Для нахождения радиуса основания $R$ рассмотрим прямоугольный треугольник $OAM$ в плоскости основания (угол $\angle OMA = 90^\circ$). По теореме Пифагора: $R^2 = OA^2 = OM^2 + AM^2$. Подставим найденные ранее выражения для $OM$ и $AM$:
$R^2 = (b \cos(\frac{\alpha}{2}) \cos\beta)^2 + (b \sin(\frac{\alpha}{2}))^2 = b^2 \cos^2(\frac{\alpha}{2}) \cos^2\beta + b^2 \sin^2(\frac{\alpha}{2})$

Упростим выражение для $R^2$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:
$R^2 = b^2 (\cos^2(\frac{\alpha}{2}) \cos^2\beta + 1 - \cos^2(\frac{\alpha}{2}))$
$R^2 = b^2 (1 - \cos^2(\frac{\alpha}{2}) + \cos^2(\frac{\alpha}{2}) \cos^2\beta)$
$R^2 = b^2 (1 - \cos^2(\frac{\alpha}{2}) (1 - \cos^2\beta))$
$R^2 = b^2 (1 - \cos^2(\frac{\alpha}{2}) \sin^2\beta)$

Теперь, когда у нас есть выражения для $H$ и $R^2$, мы можем найти объём конуса:
$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi \left[ b^2 (1 - \cos^2(\frac{\alpha}{2}) \sin^2\beta) \right] \left[ b \cos(\frac{\alpha}{2}) \sin\beta \right]$
$V = \frac{1}{3} \pi b^3 \sin\beta \cos(\frac{\alpha}{2}) (1 - \sin^2\beta \cos^2(\frac{\alpha}{2}))$

Ответ: $V = \frac{1}{3} \pi b^3 \sin\beta \cos(\frac{\alpha}{2}) (1 - \sin^2\beta \cos^2(\frac{\alpha}{2}))$

20.23. Через две образующие конуса проведена плоскость, пересекающая его основание по хорде, которую видно из центра основания конуса под углом $\alpha$. Угол между проведённой плоскостью и плоскостью основания конуса равен $\beta$. Найдите объём конуса, если радиус его основания равен $R$.

Пусть $S$ — вершина конуса, $O$ — центр его основания, $SO = H$ — высота конуса, а $R$ — радиус его основания.

Плоскость, проходящая через две образующие $SA$ и $SB$, пересекает основание конуса по хорде $AB$. Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$ в плоскости основания. Так как $OA$ и $OB$ являются радиусами основания, $OA = OB = R$. По условию, угол, под которым хорда $AB$ видна из центра основания, равен $\alpha$, то есть $\angle AOB = \alpha$.

Треугольник $\triangle AOB$ — равнобедренный. Проведем в нем высоту $OM$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой и биссектрисой. Следовательно, $M$ — середина $AB$, $OM \perp AB$ и $\angle AOM = \frac{\alpha}{2}$. Из прямоугольного треугольника $\triangle OMA$ находим длину $OM$:$OM = OA \cdot \cos(\angle AOM) = R \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Угол между секущей плоскостью $(SAB)$ и плоскостью основания конуса — это двугранный угол при ребре $AB$. Величина этого угла по условию равна $\beta$. Мы уже установили, что $OM \perp AB$ и $OM$ лежит в плоскости основания. Рассмотрим сечение конуса — треугольник $\triangle SAB$. Так как $SA$ и $SB$ — образующие конуса, то $SA = SB$, и $\triangle SAB$ является равнобедренным. Его медиана $SM$ (поскольку $M$ — середина $AB$) также является его высотой, то есть $SM \perp AB$. Линейным углом двугранного угла между плоскостями $(SAB)$ и основанием является угол между перпендикулярами $OM$ и $SM$, проведенными к их линии пересечения $AB$. Таким образом, $\angle SMO = \beta$.

Рассмотрим треугольник $\triangle SOM$. $SO = H$ — высота конуса, поэтому $SO$ перпендикулярна плоскости основания. Так как прямая $OM$ лежит в плоскости основания и проходит через точку $O$, то $SO \perp OM$. Следовательно, $\triangle SOM$ — прямоугольный треугольник с прямым углом $\angle SOM$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle SOM$ катеты $SO$ и $OM$ связаны с углом $\beta$ соотношением:$\tan(\beta) = \frac{SO}{OM} = \frac{H}{OM}$. Отсюда выражаем высоту конуса $H$:$H = OM \cdot \tan(\beta) = R \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta)$.

Теперь можем найти объём конуса $V$ по формуле:$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$. Подставляем найденное выражение для $H$:$V = \frac{1}{3} \pi R^2 \left(R \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta)\right) = \frac{1}{3} \pi R^3 \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta)$.

Ответ: $V = \frac{1}{3} \pi R^3 \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta)$.

20.24. Найдите объём тела, полученного в результате вращения треугольника со сторонами 10 см, 17 см и 21 см вокруг прямой, содержащей его большую сторону.

Тело, полученное в результате вращения треугольника вокруг одной из его сторон, представляет собой два конуса с общим основанием. Радиусом этого основания является высота треугольника, опущенная на сторону вращения. Вращение происходит вокруг большей стороны, длина которой 21 см.

Даны стороны треугольника $a = 10$ см, $b = 17$ см, и $c = 21$ см. Для нахождения объёма тела вращения сначала найдём радиус общего основания конусов, который равен высоте треугольника $h$, проведенной к стороне $c = 21$ см. Для этого вычислим площадь треугольника по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр.

Найдём полупериметр треугольника:$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{10+17+21}{2} = \frac{48}{2} = 24$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника:$S = \sqrt{24(24-10)(24-17)(24-21)} = \sqrt{24 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 3} = \sqrt{(3 \cdot 8) \cdot (2 \cdot 7) \cdot 7 \cdot 3} = \sqrt{9 \cdot 16 \cdot 49} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84$ $см^2$.

Площадь треугольника также можно выразить через сторону и высоту, проведенную к ней: $S = \frac{1}{2}ch$. Отсюда найдем высоту $h$, которая является радиусом $R$ тела вращения:$84 = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot h$$h = \frac{84 \cdot 2}{21} = \frac{168}{21} = 8$ см. Итак, радиус основания конусов $R = 8$ см.

Объём тела вращения равен сумме объёмов двух конусов, на которые высота $h$ делит исходный треугольник. Высоты этих конусов, $h_1$ и $h_2$, в сумме дают длину стороны вращения $c$: $h_1 + h_2 = c = 21$ см. Общий объём $V$ вычисляется по формуле:$V = V_1 + V_2 = \frac{1}{3}\pi R^2 h_1 + \frac{1}{3}\pi R^2 h_2 = \frac{1}{3}\pi R^2 (h_1 + h_2) = \frac{1}{3}\pi R^2 c$.

Подставим известные значения $R = 8$ см и $c = 21$ см в формулу для объёма:$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 8^2 \cdot 21 = \frac{1}{3}\pi \cdot 64 \cdot 21 = \pi \cdot 64 \cdot 7 = 448\pi$ $см^3$.

Ответ: $448\pi$ $см^3$.

20.25. Равнобокую трапецию с основаниями 1 см и 25 см вращают вокруг прямой, содержащей её большее основание. Найдите объём образовавшегося тела, если известно, что в данную трапецию можно вписать окружность.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию, большее основание $a = AD = 25$ см, а меньшее основание $b = BC = 1$ см.

1. Нахождение параметров трапеции

Поскольку в трапецию можно вписать окружность, суммы длин её противоположных сторон равны. Для равнобокой трапеции, боковые стороны которой равны ($c = AB = CD$), это свойство записывается как:

$AB + CD = AD + BC$

$2c = a + b$

Подставим известные значения оснований:

$2c = 25 + 1 = 26$ см

Отсюда находим длину боковой стороны:

$c = 13$ см

Теперь найдем высоту трапеции $h$. Проведем высоты $BH$ и $CK$ из вершин $B$ и $C$ на большее основание $AD$. Так как трапеция равнобокая, отрезки $AH$ и $KD$ равны. Длина отрезка $AH$ вычисляется по формуле:

$AH = \frac{a - b}{2} = \frac{25 - 1}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. По теореме Пифагора:

$c^2 = h^2 + AH^2$

$h^2 = c^2 - AH^2$

Подставим найденные значения $c$ и $AH$:

$h^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$

$h = \sqrt{25} = 5$ см

2. Вычисление объема тела вращения

Тело, образовавшееся при вращении равнобокой трапеции вокруг большего основания, состоит из одного цилиндра и двух одинаковых конусов по бокам.

• Цилиндр образуется вращением прямоугольника $BCHK$. Его радиус равен высоте трапеции $h$, а высота равна меньшему основанию $b$.
• Два конуса образуются вращением прямоугольных треугольников $ABH$ и $DCK$. Радиус основания каждого конуса равен высоте трапеции $h$, а высота конуса равна отрезку $AH$.

Объем тела вращения $V$ равен сумме объемов цилиндра $V_{цил}$ и двух конусов $V_{кон}$:

$V = V_{цил} + 2 \cdot V_{кон}$

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V_{цил} = \pi r^2 H_{цил}$. В нашем случае $r=h$ и $H_{цил}=b$:

$V_{цил} = \pi h^2 b = \pi \cdot 5^2 \cdot 1 = 25\pi$ см$^3$

Объем одного конуса вычисляется по формуле $V_{кон} = \frac{1}{3} \pi r^2 H_{кон}$. В нашем случае $r=h$ и $H_{кон}=AH$:

$V_{кон} = \frac{1}{3} \pi h^2 \cdot AH = \frac{1}{3} \pi \cdot 5^2 \cdot 12 = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot 12 = 100\pi$ см$^3$

Теперь найдем общий объем тела вращения:

$V = V_{цил} + 2 \cdot V_{кон} = 25\pi + 2 \cdot 100\pi = 25\pi + 200\pi = 225\pi$ см$^3$

Ответ: $225\pi \text{ см}^3$.

20.26. Найдите объём тела, полученного в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей гипотенузу этого треугольника, если известны его катет $a$ и прилежащий к этому катету угол $\beta$.

Тело, полученное в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей его гипотенузу, состоит из двух конусов, имеющих общее основание.

Объем этого тела $V$ равен сумме объемов двух конусов:$V = V_1 + V_2 = \frac{1}{3}\pi R^2 h_1 + \frac{1}{3}\pi R^2 h_2 = \frac{1}{3}\pi R^2 (h_1 + h_2)$где $R$ — радиус общего основания конусов, равный высоте прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу; $h_1$ и $h_2$ — высоты конусов, которые в сумме дают длину гипотенузы треугольника $c$. Таким образом, формула для объема тела вращения имеет вид:$V = \frac{1}{3}\pi R^2 c$

Найдем $c$ и $R$ через известные катет $a$ и прилежащий к нему угол $\beta$. Пусть в прямоугольном треугольнике катет равен $a$, а прилежащий к нему острый угол равен $\beta$. Тогда гипотенуза $c$ находится из соотношения:$\cos \beta = \frac{a}{c} \Rightarrow c = \frac{a}{\cos \beta}$

Радиус $R$ (высота, опущенная на гипотенузу) является катетом в другом прямоугольном треугольнике, образованном катетом $a$ (который становится гипотенузой), углом $\beta$ и этой высотой.$\sin \beta = \frac{R}{a} \Rightarrow R = a \sin \beta$

Теперь подставим выражения для $c$ и $R$ в формулу объема:$V = \frac{1}{3}\pi (a \sin \beta)^2 \cdot \frac{a}{\cos \beta} = \frac{1}{3}\pi (a^2 \sin^2 \beta) \frac{a}{\cos \beta} = \frac{\pi a^3 \sin^2 \beta}{3 \cos \beta}$

Ответ: $V = \frac{\pi a^3 \sin^2 \beta}{3 \cos \beta}$

20.27. Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор, градусная мера дуги которого составляет $120^\circ$. Найдите объём конуса, если площадь его боковой поверхности равна $9\pi \text{ см}^2$.

Пусть $l$ - образующая конуса, $r$ - радиус его основания, а $h$ - высота. Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор. Радиус этого сектора равен образующей конуса $l$, а его площадь равна площади боковой поверхности конуса $S_{бок}$.

Площадь сектора вычисляется по формуле $S_{сектора} = \frac{\pi l^2 \alpha}{360}$, где $\alpha$ - градусная мера дуги сектора. По условию, площадь боковой поверхности конуса $S_{бок} = 9\pi \text{ см}^2$ и угол сектора $\alpha = 120^\circ$. Приравняем площадь сектора к площади боковой поверхности и найдём образующую $l$:
$9\pi = \frac{\pi l^2 \cdot 120}{360}$
Упростим правую часть:
$9\pi = \frac{\pi l^2}{3}$
Отсюда выразим $l^2$:
$l^2 = 9 \cdot 3 = 27$
$l = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \text{ см}$.

Площадь боковой поверхности конуса также можно найти по формуле $S_{бок} = \pi r l$. Подставив известные значения $S_{бок}$ и $l$, найдём радиус основания конуса $r$:
$9\pi = \pi \cdot r \cdot 3\sqrt{3}$
Выразим $r$:
$r = \frac{9\pi}{3\pi\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} \text{ см}$.

Высота конуса $h$, радиус основания $r$ и образующая $l$ связаны теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике, где $l$ - гипотенуза: $l^2 = r^2 + h^2$. Найдём высоту $h$:
$h^2 = l^2 - r^2$
$h^2 = (3\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2 = 27 - 3 = 24$
$h = \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6} \text{ см}$.

Теперь вычислим объём конуса по формуле $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$:
$V = \frac{1}{3}\pi (\sqrt{3})^2 \cdot (2\sqrt{6})$
$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 3 \cdot 2\sqrt{6}$
$V = 2\pi\sqrt{6} \text{ см}^3$.

Ответ: $2\pi\sqrt{6} \text{ см}^3$.

20.28. Развёрткой боковой поверхности конуса является полукруг, радиус которого равен 8 см. Найдите объём конуса.

Объём конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, где $r$ – радиус основания конуса, а $h$ – его высота.

Развёрткой боковой поверхности конуса является полукруг. Радиус этого полукруга является образующей конуса $l$. Из условия задачи следует, что $l = 8$ см.

Длина дуги этого полукруга равна длине окружности основания конуса $C$. Длину дуги полукруга можно найти по формуле $C_{дуги} = \pi l$.

Подставим значение $l$:
$C = \pi \cdot 8 = 8\pi$ см.

Длина окружности основания конуса вычисляется по формуле $C = 2\pi r$. Приравняв два выражения для $C$, найдем радиус основания конуса $r$:

$2\pi r = 8\pi$

$r = \frac{8\pi}{2\pi} = 4$ см.

Высоту конуса $h$ можно найти из прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом основания и образующей (которая является гипотенузой). По теореме Пифагора:

$l^2 = r^2 + h^2$

Выразим высоту $h$:

$h = \sqrt{l^2 - r^2}$

Подставим известные значения $l = 8$ см и $r = 4$ см:

$h = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь, когда известны радиус основания и высота, мы можем вычислить объём конуса:

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot (4)^2 \cdot 4\sqrt{3} = \frac{1}{3}\pi \cdot 16 \cdot 4\sqrt{3} = \frac{64\pi\sqrt{3}}{3}$ см³.

Ответ: $\frac{64\pi\sqrt{3}}{3}$ см³.

20.29. В конус вписан шар, радиус которого равен 3 см. Найдите объём конуса, если радиус его основания равен 6 см.

Для нахождения объёма конуса используется формула $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$, где $R$ — радиус основания конуса, а $H$ — его высота.

По условию задачи, радиус основания конуса $R = 6$ см, а радиус вписанного в него шара $r = 3$ см. Нам необходимо найти высоту конуса $H$.

Рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него шара. Сечением конуса является равнобедренный треугольник, а сечением шара — вписанная в этот треугольник окружность. Пусть $A$ — вершина конуса, $AM$ — его высота ($H$), $M$ — центр основания. Точка $B$ лежит на окружности основания, тогда $BM$ — это радиус основания конуса ($R=6$ см), а $AB$ — образующая конуса ($L$).

Центр вписанного шара $O$ лежит на высоте $AM$. Расстояние от центра $O$ до основания конуса равно радиусу шара, то есть $OM = r = 3$ см. Также радиусом является перпендикуляр $OK$, опущенный из центра $O$ на образующую $AB$ ($K$ — точка касания). Таким образом, $OK = r = 3$ см.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle AOK$.

• В $\triangle ABM$: катеты $AM = H$ и $BM = R = 6$, гипотенуза $AB = L$.
• В $\triangle AOK$: катет $OK = r = 3$, гипотенуза $AO = AM - OM = H - r = H - 3$.

Треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle AOK$ подобны, так как они оба прямоугольные и имеют общий острый угол при вершине $A$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{OK}{BM} = \frac{AO}{AB}$

По теореме Пифагора из $\triangle ABM$ найдём образующую $L=AB$: $L = \sqrt{AM^2 + BM^2} = \sqrt{H^2 + R^2} = \sqrt{H^2 + 6^2} = \sqrt{H^2 + 36}$.

Подставим все известные значения в пропорцию:

$\frac{3}{6} = \frac{H - 3}{\sqrt{H^2 + 36}}$

Упростим и решим полученное уравнение:

$\frac{1}{2} = \frac{H - 3}{\sqrt{H^2 + 36}}$

$2(H - 3) = \sqrt{H^2 + 36}$

Возведём обе части уравнения в квадрат, учитывая, что $H-3 \ge 0$, то есть $H \ge 3$:

$(2(H - 3))^2 = (\sqrt{H^2 + 36})^2$

$4(H^2 - 6H + 9) = H^2 + 36$

$4H^2 - 24H + 36 = H^2 + 36$

$3H^2 - 24H = 0$

$3H(H - 8) = 0$

Данное уравнение имеет два корня: $H=0$ и $H=8$. Так как высота конуса не может быть равна нулю, то $H = 8$ см. Это значение удовлетворяет условию $H \ge 3$.

Теперь, зная высоту $H=8$ см и радиус основания $R=6$ см, можем вычислить объём конуса:

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi \cdot 6^2 \cdot 8 = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 8 = 12 \pi \cdot 8 = 96\pi$ см$^3$.

Ответ: $96\pi$ см$^3$.

20.30. В конус вписан шар, радиус которого равен $r$. Найдите объём конуса, если угол между его образующей и плоскостью основания равен $\alpha$.

Обозначим высоту конуса через $H$, а радиус его основания — через $R$. Объем конуса находится по формуле $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$. Чтобы найти объем, необходимо выразить $R$ и $H$ через заданные величины: радиус вписанного шара $r$ и угол $\alpha$.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой равнобедренный треугольник, в который вписана окружность радиусом $r$ (это сечение вписанного шара). Высота этого треугольника равна высоте конуса $H$, а половина его основания — радиусу основания конуса $R$. Угол между боковой стороной треугольника (образующей конуса) и его основанием по условию равен $\alpha$.

Центр вписанной окружности лежит на высоте конуса (которая также является осью симметрии и высотой треугольника). Расстояние от центра вписанной окружности до основания конуса равно её радиусу $r$.

Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения биссектрис его углов. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $H$, радиусом $R$ и образующей конуса. Биссектриса угла $\alpha$ проходит через центр вписанной окружности.

Это позволяет нам рассмотреть другой прямоугольный треугольник, катетами которого являются радиус основания $R$ и отрезок высоты от центра вписанной окружности до основания, равный $r$. Угол при основании в этом новом треугольнике будет равен $\frac{\alpha}{2}$. Из этого треугольника получаем соотношение:
$\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{r}{R}$
Отсюда выражаем радиус основания конуса:
$R = \frac{r}{\tan(\frac{\alpha}{2})} = r \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Теперь найдем высоту конуса $H$. Из основного прямоугольного треугольника (в осевом сечении) с катетами $H$ и $R$ и углом $\alpha$ при основании имеем:
$\tan(\alpha) = \frac{H}{R}$
Откуда $H = R \tan(\alpha)$. Подставив найденное ранее выражение для $R$, получаем:
$H = r \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\alpha)$.

Наконец, подставим полученные выражения для $R$ и $H$ в формулу объема конуса:
$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi \left(r \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)^2 \left(r \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\alpha)\right)$
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 \cot^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cdot r \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\alpha)$
$V = \frac{1}{3} \pi r^3 \tan(\alpha) \cot^3\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Ответ: $V = \frac{1}{3} \pi r^3 \tan(\alpha) \cot^3\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

20.31. Из сосуда, имеющего форму конуса, высота которого равна 8 см, а диаметр основания — 12 см, и наполненного до краев водой, перелили воду в сосуд, имеющий форму цилиндра (рис. 20.7). Диаметр основания цилиндра равен 8 см. Какой наименьшей должна быть высота цилиндрического сосуда, чтобы вода из него не выливалась?

Рис. 20.7

20.31.

Чтобы найти наименьшую высоту цилиндрического сосуда, необходимо сначала вычислить объем воды, который находился в коническом сосуде. Затем, зная этот объем, можно определить, какую высоту займет вода в цилиндрическом сосуде. Эта высота и будет искомой минимальной высотой цилиндра.

1. Вычисление объема воды в коническом сосуде.
Объем конуса рассчитывается по формуле: $V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi R^2 H$, где $R$ — радиус основания, а $H$ — высота.
Дано:
Высота конуса $H_{конуса} = 8$ см.
Диаметр основания конуса $D_{конуса} = 12$ см.
Радиус основания конуса: $R_{конуса} = \frac{D_{конуса}}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.
Подставляем значения в формулу:
$V_{воды} = V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi (6)^2 \cdot 8 = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 8 = 12 \pi \cdot 8 = 96\pi$ см³.

2. Определение высоты воды в цилиндрическом сосуде.
Объем воды остается неизменным при переливании. Объем цилиндра рассчитывается по формуле: $V_{цилиндра} = \pi r^2 h$, где $r$ — радиус основания, а $h$ — высота.
Дано:
Диаметр основания цилиндра $D_{цилиндра} = 8$ см.
Радиус основания цилиндра: $r_{цилиндра} = \frac{D_{цилиндра}}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.
Объем воды в цилиндре равен объему конуса: $V_{воды} = 96\pi$ см³.

Теперь можем найти высоту $h$, которую займет вода в цилиндре:
$V_{воды} = \pi (r_{цилиндра})^2 h$
$96\pi = \pi (4)^2 h$
$96\pi = 16\pi h$
Разделим обе части уравнения на $16\pi$:
$h = \frac{96\pi}{16\pi} = 6$ см.

Следовательно, наименьшая высота цилиндрического сосуда, при которой вода не выльется, должна быть равна высоте уровня воды.
Ответ: 6 см.

20.32. Стог сена имеет форму цилиндра с ко- нической верхушкой. Радиус его осно- вания равен 2,5 м, высота всего сто- га — 4 м, а высота его цилиндрической части — 2,2 м. Плотность сена равна $30 \text{ кг/м}^3$. Сколько тонн составляет масса стога? Ответ округлите до десятых.

Для решения задачи сначала найдем объем стога сена, который представляет собой сумму объемов цилиндра и конуса. Затем, зная плотность сена, вычислим его массу.

Дано:
Радиус основания (цилиндра и конуса), $R = 2,5$ м.
Общая высота стога, $H_{общ} = 4$ м.
Высота цилиндрической части, $h_{цил} = 2,2$ м.
Плотность сена, $\rho = 30$ кг/м³.

1. Найдем высоту конической верхушки ($h_{кон}$):
Высота конуса равна разности общей высоты стога и высоты его цилиндрической части.
$h_{кон} = H_{общ} - h_{цил} = 4 - 2,2 = 1,8$ м.

2. Вычислим объем цилиндрической части ($V_{цил}$):
Формула объема цилиндра: $V_{цил} = \pi R^2 h_{цил}$.
$V_{цил} = \pi \cdot (2,5)^2 \cdot 2,2 = \pi \cdot 6,25 \cdot 2,2 = 13,75\pi$ м³.

3. Вычислим объем конической части ($V_{кон}$):
Формула объема конуса: $V_{кон} = \frac{1}{3} \pi R^2 h_{кон}$.
$V_{кон} = \frac{1}{3} \pi \cdot (2,5)^2 \cdot 1,8 = \frac{1}{3} \pi \cdot 6,25 \cdot 1,8 = 3,75\pi$ м³.

4. Найдем общий объем стога ($V_{общ}$):
$V_{общ} = V_{цил} + V_{кон} = 13,75\pi + 3,75\pi = 17,5\pi$ м³.

5. Найдем массу стога в килограммах ($m$):
Масса равна произведению объема на плотность: $m = V_{общ} \cdot \rho$.
$m = 17,5\pi \cdot 30 = 525\pi$ кг.

6. Переведем массу в тонны и округлим до десятых.
В одной тонне 1000 кг, поэтому массу в килограммах нужно разделить на 1000. Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14159$.
$m_{т} = \frac{525\pi}{1000} \approx \frac{525 \cdot 3,14159}{1000} \approx \frac{1649,33475}{1000} \approx 1,649$ т.
Округляя до десятых, получаем 1,6 т.

Ответ: 1,6 т.