Страница 199 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.1. Объёмы двух шаров относятся как 27 : 125. Как относятся площади их поверхностей?

211.1

Обозначим радиусы двух шаров как $r_1$ и $r_2$. Тогда их объёмы $V_1$ и $V_2$ и площади поверхностей $S_1$ и $S_2$ вычисляются по следующим формулам:
Объём шара: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$.
Площадь поверхности шара: $S = 4\pi r^2$.

По условию задачи, отношение объёмов двух шаров равно 27 : 125. Запишем это математически:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi r_1^3}{\frac{4}{3}\pi r_2^3} = \frac{r_1^3}{r_2^3} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$.

Мы имеем равенство:
$\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 = \frac{27}{125}$.

Чтобы найти отношение радиусов $\frac{r_1}{r_2}$, извлечём кубический корень из обеих частей уравнения:
$\frac{r_1}{r_2} = \sqrt[3]{\frac{27}{125}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{3}{5}$.

Теперь найдём отношение площадей их поверхностей. Отношение площадей поверхностей двух шаров равно квадрату отношения их радиусов:
$\frac{S_1}{S_2} = \frac{4\pi r_1^2}{4\pi r_2^2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$.

Подставим найденное отношение радиусов $\frac{r_1}{r_2} = \frac{3}{5}$ в эту формулу:
$\frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{3^2}{5^2} = \frac{9}{25}$.

Следовательно, площади поверхностей шаров относятся как 9 : 25.

Ответ: 9 : 25.

21.2. Площадь большого круга шара равна $S$. Найдите площадь поверхности данного шара.

Пусть радиус шара равен $R$.

Большой круг шара — это сечение шара плоскостью, проходящей через его центр. Радиус большого круга равен радиусу шара $R$.

Площадь большого круга по условию равна $S$. Формула для площади круга радиусом $R$ имеет вид:

$S_{круга} = \pi R^2$

Из условия мы знаем, что $S = \pi R^2$.

Площадь поверхности шара, или площадь сферы, вычисляется по формуле:

$S_{поверхности} = 4 \pi R^2$

Чтобы найти площадь поверхности шара, выраженную через $S$, мы можем заметить, что формула площади поверхности содержит выражение $\pi R^2$, которое равно $S$.

Подставим $S$ в формулу площади поверхности шара:

$S_{поверхности} = 4 \times (\pi R^2) = 4S$

Таким образом, площадь поверхности шара в четыре раза больше площади его большого круга.

Ответ: $4S$

21.3. Плоскость, удалённая от центра сферы на 7 см, пересекает сферу по линии, длина которой равна $6\pi$ см. Найдите площадь сферы.

Сечение сферы плоскостью представляет собой окружность. Обозначим радиус этой окружности как $r$. Длина этой окружности (линии пересечения) задана по условию и равна $C = 6\pi$ см.

1. Найдем радиус окружности в сечении.
Формула для вычисления длины окружности: $C = 2\pi r$.
Подставим в формулу известное значение длины окружности и найдем ее радиус $r$:
$6\pi = 2\pi r$
$r = \frac{6\pi}{2\pi} = 3$ см.

2. Найдем радиус сферы.
Радиус сферы $R$, радиус сечения $r$ и расстояние от центра сферы до плоскости сечения $d$ образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике радиус сферы $R$ является гипотенузой, а $r$ и $d$ — катетами. По условию, расстояние $d = 7$ см.
По теореме Пифагора:
$R^2 = d^2 + r^2$
Подставим известные значения $d=7$ см и $r=3$ см:
$R^2 = 7^2 + 3^2 = 49 + 9 = 58$

3. Найдем площадь сферы.
Площадь поверхности сферы $S$ вычисляется по формуле:
$S = 4\pi R^2$
Мы уже нашли, что $R^2 = 58$. Подставим это значение в формулу площади:
$S = 4\pi \cdot 58 = 232\pi$ см$^2$.

Ответ: $232\pi$ см$^2$.

21.4. Площадь сечения шара плоскостью, удалённой от его центра на 4 см, равна $24\pi \text{ см}^2$. Найдите площадь поверхности шара.

Пусть $R$ — радиус шара, $r$ — радиус сечения, а $d$ — расстояние от центра шара до плоскости сечения.

Согласно условию задачи, расстояние от центра до плоскости сечения составляет $d = 4$ см, а площадь этого сечения равна $S_{сеч} = 24\pi$ см².

Сечение шара плоскостью является кругом. Площадь круга находится по формуле $S = \pi r^2$. Используем данные, чтобы найти квадрат радиуса сечения $r^2$:
$S_{сеч} = \pi r^2$
$24\pi = \pi r^2$
$r^2 = 24$

Радиус шара $R$, радиус сечения $r$ и расстояние от центра шара до плоскости сечения $d$ образуют прямоугольный треугольник, где $R$ — гипотенуза, а $d$ и $r$ — катеты. По теореме Пифагора имеем соотношение:
$R^2 = d^2 + r^2$

Подставим известные значения $d=4$ и $r^2=24$ в это уравнение, чтобы найти квадрат радиуса шара $R^2$:
$R^2 = 4^2 + 24$
$R^2 = 16 + 24$
$R^2 = 40$

Площадь поверхности шара (сферы) вычисляется по формуле $S_{шара} = 4\pi R^2$. Теперь мы можем найти искомую площадь:
$S_{шара} = 4\pi \cdot 40$
$S_{шара} = 160\pi$ см²

Ответ: $160\pi$ см².

21.5. Сколько метров ткани шириной 1 м необходимо для изготовления воздушного шара, радиус которого равен 2 м, если на соединения и отходы идёт 10 % ткани? Ответ округлите до десятых.

Для того чтобы найти необходимое количество ткани, сначала вычислим площадь поверхности воздушного шара. Поскольку воздушный шар имеет форму сферы, его площадь поверхности ($S_{шара}$) находится по формуле:
$S_{шара} = 4\pi r^2$, где $r$ – радиус шара.
Подставим в формулу значение радиуса $r = 2$ м:
$S_{шара} = 4 \cdot \pi \cdot (2 \text{ м})^2 = 16\pi$ м$^2$.
Эта площадь представляет собой полезное количество ткани, которое пойдет непосредственно на сам шар.

По условию задачи, 10% ткани уходит на соединения и отходы. Это означает, что полезная площадь ткани ($S_{шара}$) составляет $100\% - 10\% = 90\%$ от общей площади купленной ткани ($S_{общ}$).
Мы можем записать это соотношение в виде:
$S_{шара} = 0.9 \cdot S_{общ}$
Теперь выразим общую площадь ткани:
$S_{общ} = \frac{S_{шара}}{0.9} = \frac{16\pi}{0.9}$ м$^2$.

Ткань имеет ширину 1 м. Площадь рулона ткани ($S_{общ}$) равна произведению его длины ($L$) на ширину (1 м).
$S_{общ} = L \cdot 1$ м
Следовательно, искомая длина ткани численно равна ее общей площади:
$L = S_{общ} = \frac{16\pi}{0.9}$ м.

Выполним вычисления, используя приближенное значение $\pi \approx 3.14159$:
$L \approx \frac{16 \cdot 3.14159}{0.9} \approx \frac{50.26544}{0.9} \approx 55.8504...$ м.

Согласно условию, ответ необходимо округлить до десятых.
$L \approx 55.9$ м.

Ответ: 55,9 м.

21.6. В каком случае расходуется больше материала: на никелировку одного шара диаметром 6 см или на никелировку 8 шаров диаметром 1 см каждый?

Расход материала для никелировки зависит от площади поверхности, которую необходимо покрыть. Чтобы ответить на вопрос, нужно сравнить общую площадь поверхности в обоих случаях.

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S = \pi D^2$, где $D$ — это диаметр шара.

Найдём площадь поверхности для первого случая: один шар диаметром 6 см.
Диаметр шара $D_1 = 6$ см. Площадь его поверхности $S_1$ равна:$S_1 = \pi \cdot D_1^2 = \pi \cdot (6)^2 = 36\pi$ см$^2$.

Найдём общую площадь поверхности для второго случая: 8 шаров диаметром 1 см каждый.
Сначала вычислим площадь поверхности одного такого шара. Его диаметр $D_2 = 1$ см. Площадь поверхности одного малого шара $s_2$ равна:$s_2 = \pi \cdot D_2^2 = \pi \cdot (1)^2 = \pi$ см$^2$. Поскольку таких шаров 8, их общая площадь поверхности $S_2$ будет:$S_2 = 8 \cdot s_2 = 8 \cdot \pi = 8\pi$ см$^2$.

Сравним полученные площади.
Площадь поверхности в первом случае: $S_1 = 36\pi$ см$^2$.
Общая площадь поверхности во втором случае: $S_2 = 8\pi$ см$^2$.
Сравнивая эти значения, видим, что $36\pi > 8\pi$. Следовательно, на никелировку одного большого шара материала потребуется больше.

Ответ: больше материала расходуется на никелировку одного шара диаметром 6 см.

21.7. Площади двух параллельных сечений шара, расположенных по одну сторону от его центра, равны $400\pi$ см² и $49\pi$ см². Найдите площадь поверхности шара, если расстояние между плоскостями сечений равно 9 см.

Пусть $R$ — радиус шара, а $r_1$ и $r_2$ — радиусы двух параллельных сечений. Сечение шара плоскостью представляет собой круг. Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$.

Найдем радиусы данных сечений:
Для первого сечения с площадью $S_1 = 400\pi \text{ см}^2$:
$\pi r_1^2 = 400\pi \Rightarrow r_1^2 = 400 \Rightarrow r_1 = 20 \text{ см}$.
Для второго сечения с площадью $S_2 = 49\pi \text{ см}^2$:
$\pi r_2^2 = 49\pi \Rightarrow r_2^2 = 49 \Rightarrow r_2 = 7 \text{ см}$.

Пусть $h_1$ и $h_2$ — расстояния от центра шара до плоскостей сечений с радиусами $r_1$ и $r_2$ соответственно. Радиус шара $R$, радиус сечения $r$ и расстояние от центра до сечения $h$ связаны соотношением по теореме Пифагора: $R^2 = r^2 + h^2$.

Поскольку сечения расположены по одну сторону от центра, и $r_1 > r_2$, то сечение с большим радиусом ($r_1=20$ см) находится ближе к центру, то есть $h_1 < h_2$. Расстояние между плоскостями сечений равно разности расстояний от центра до этих плоскостей: $h_2 - h_1 = 9$ см. Отсюда выразим $h_2 = h_1 + 9$.

Составим систему уравнений, используя теорему Пифагора для каждого сечения:
1) $R^2 = r_1^2 + h_1^2 = 20^2 + h_1^2$
2) $R^2 = r_2^2 + h_2^2 = 7^2 + (h_1 + 9)^2$

Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны $R^2$:
$20^2 + h_1^2 = 7^2 + (h_1 + 9)^2$
$400 + h_1^2 = 49 + h_1^2 + 18h_1 + 81$
Сократим $h_1^2$ в обеих частях уравнения:
$400 = 130 + 18h_1$
$18h_1 = 400 - 130$
$18h_1 = 270$
$h_1 = \frac{270}{18} = 15 \text{ см}$.

Теперь найдем квадрат радиуса шара $R^2$, подставив значение $h_1=15$ в первое уравнение:
$R^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625 \text{ см}^2$.

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S_{сферы} = 4\pi R^2$. Подставим найденное значение $R^2$:
$S_{сферы} = 4\pi \cdot 625 = 2500\pi \text{ см}^2$.

Ответ: $2500\pi \text{ см}^2$.

21.8. Два сечения шара имеют только одну общую точку, а их плоскости перпендикулярны. Радиус одного сечения равен 5 см, а радиус другого — 12 см. Найдите площадь поверхности шара.

Пусть $R$ — радиус шара, а $O$ — его центр. Сечениями шара являются круги. Обозначим центры этих кругов как $O_1$ и $O_2$, а их радиусы как $r_1 = 5$ см и $r_2 = 12$ см соответственно. Плоскости, в которых лежат сечения, обозначим $\alpha$ и $\beta$. По условию, их плоскости перпендикулярны, то есть $\alpha \perp \beta$.

Для любого сечения шара радиусом $r$, плоскость которого находится на расстоянии $d$ от центра шара, радиус шара $R$ связан с этими величинами по теореме Пифагора: $R^2 = d^2 + r^2$.

• Для первого сечения: $R^2 = d_1^2 + r_1^2$, где $d_1 = |OO_1|$ — расстояние от центра шара $O$ до плоскости $\alpha$.
• Для второго сечения: $R^2 = d_2^2 + r_2^2$, где $d_2 = |OO_2|$ — расстояние от центра шара $O$ до плоскости $\beta$.

По условию, сечения имеют только одну общую точку. Обозначим ее $P$. Это означает, что точка $P$ принадлежит обоим кругам. Следовательно, $P$ лежит на линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Так как $P$ является единственной общей точкой, линия пересечения плоскостей должна быть касательной к окружностям обоих сечений в этой точке $P$.

Пусть $L$ — линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Поскольку $L$ является касательной к окружности первого сечения в точке $P$, то радиус $O_1P$ перпендикулярен прямой $L$ ($O_1P \perp L$). Аналогично, радиус $O_2P$ перпендикулярен $L$ ($O_2P \perp L$).

Линии $O_1P$ и $O_2P$ лежат в плоскостях $\alpha$ и $\beta$ соответственно, и обе перпендикулярны линии их пересечения $L$ в одной и той же точке $P$. Угол между этими линиями равен двугранному углу между плоскостями. Так как $\alpha \perp \beta$, то и $O_1P \perp O_2P$. Это означает, что треугольник $\triangle O_1PO_2$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $P$. По теореме Пифагора для этого треугольника: $|O_1O_2|^2 = |O_1P|^2 + |O_2P|^2 = r_1^2 + r_2^2$.

Теперь рассмотрим пространственное расположение центров $O$, $O_1$ и $O_2$. Отрезок $OO_1$ перпендикулярен плоскости $\alpha$, а отрезок $OO_2$ перпендикулярен плоскости $\beta$. Поскольку плоскости $\alpha$ и $\beta$ взаимно перпендикулярны, то и перпендикуляры к ним, проведенные из одной точки $O$, также взаимно перпендикулярны: $OO_1 \perp OO_2$. Таким образом, треугольник $\triangle OO_1O_2$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$. По теореме Пифагора для этого треугольника: $|O_1O_2|^2 = |OO_1|^2 + |OO_2|^2 = d_1^2 + d_2^2$.

Мы получили два выражения для квадрата расстояния между центрами сечений $|O_1O_2|^2$. Приравняем их: $d_1^2 + d_2^2 = r_1^2 + r_2^2$. Теперь выразим $d_1^2$ и $d_2^2$ из соотношений для радиуса шара: $d_1^2 = R^2 - r_1^2$ $d_2^2 = R^2 - r_2^2$ Подставим эти выражения в равенство: $(R^2 - r_1^2) + (R^2 - r_2^2) = r_1^2 + r_2^2$ $2R^2 - r_1^2 - r_2^2 = r_1^2 + r_2^2$ $2R^2 = 2r_1^2 + 2r_2^2$ $R^2 = r_1^2 + r_2^2$

Подставим известные значения радиусов сечений для нахождения квадрата радиуса шара: $R^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \text{ см}^2$.

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$. $S = 4\pi \cdot 169 = 676\pi \text{ см}^2$.

Ответ: $676\pi \text{ см}^2$.

21.9. Площади двух параллельных сечений шара, расположенных по разные стороны от его центра, равны $9\pi \text{ см}^2$ и $25\pi \text{ см}^2$. Найдите площадь поверхности шара, если расстояние между плоскостями сечений равно 8 см.

Пусть $R$ — радиус шара. Сечение шара плоскостью представляет собой круг. Обозначим радиусы двух данных сечений как $r_1$ и $r_2$, а их площади как $S_1$ и $S_2$ соответственно.

По условию задачи, площади сечений равны $S_1 = 9\pi$ см² и $S_2 = 25\pi$ см².

Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$. Используя эту формулу, найдем радиусы сечений:

Для первого сечения: $\pi r_1^2 = 9\pi$, откуда получаем $r_1^2 = 9$, следовательно, радиус первого сечения $r_1 = 3$ см.

Для второго сечения: $\pi r_2^2 = 25\pi$, откуда получаем $r_2^2 = 25$, следовательно, радиус второго сечения $r_2 = 5$ см.

Пусть $h_1$ и $h_2$ — расстояния от центра шара до плоскостей первого и второго сечений соответственно. Радиус шара $R$, радиус сечения $r$ и расстояние от центра шара до плоскости сечения $h$ связаны соотношением по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, где $R$ является гипотенузой: $R^2 = r^2 + h^2$.

Для наших двух сечений можно составить систему уравнений:

1) $R^2 = r_1^2 + h_1^2 = 3^2 + h_1^2 = 9 + h_1^2$

2) $R^2 = r_2^2 + h_2^2 = 5^2 + h_2^2 = 25 + h_2^2$

В условии сказано, что сечения расположены по разные стороны от центра шара. Это означает, что расстояние между их плоскостями равно сумме расстояний от центра до каждой плоскости: $d = h_1 + h_2$. По условию, $d = 8$ см, значит, $h_1 + h_2 = 8$.

Приравняем правые части уравнений для $R^2$, так как радиус шара один и тот же:

$9 + h_1^2 = 25 + h_2^2$

Перенесем члены, чтобы сгруппировать переменные:

$h_1^2 - h_2^2 = 25 - 9$

$h_1^2 - h_2^2 = 16$

Применим формулу разности квадратов: $(h_1 - h_2)(h_1 + h_2) = 16$.

Мы знаем, что $h_1 + h_2 = 8$, подставим это значение в уравнение:

$(h_1 - h_2) \cdot 8 = 16$

$h_1 - h_2 = \frac{16}{8} = 2$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $h_1$ и $h_2$:

$\begin{cases} h_1 + h_2 = 8 \\ h_1 - h_2 = 2 \end{cases}$

Сложив эти два уравнения, получим: $(h_1 + h_2) + (h_1 - h_2) = 8 + 2$, что дает $2h_1 = 10$, и отсюда $h_1 = 5$ см.

Подставив значение $h_1 = 5$ в первое уравнение системы ($h_1 + h_2 = 8$), найдем $h_2$: $5 + h_2 = 8$, откуда $h_2 = 3$ см.

Теперь мы можем найти квадрат радиуса шара $R^2$, подставив значение $h_1$ или $h_2$ в одно из первоначальных уравнений. Возьмем первое:

$R^2 = 9 + h_1^2 = 9 + 5^2 = 9 + 25 = 34$.

Площадь поверхности шара $S_{шара}$ вычисляется по формуле $S_{шара} = 4\pi R^2$.

Подставим найденное значение $R^2 = 34$:

$S_{шара} = 4\pi \cdot 34 = 136\pi$ см².

Ответ: $136\pi$ см².

21.10. Найдите отношение площади сферы, вписанной в данный куб, к площади сферы, описанной около куба.

Для решения задачи необходимо найти площади двух сфер: вписанной в куб и описанной около него. Затем нужно найти их отношение.

Пусть ребро куба равно $a$.

Сфера считается вписанной в куб, если она касается всех его граней. Центр вписанной сферы совпадает с центром куба, а её диаметр равен длине ребра куба. Таким образом, радиус вписанной сферы, обозначим его $r_1$, равен половине ребра куба:$r_1 = \frac{a}{2}$.

Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле $S = 4\pi r^2$. Площадь вписанной сферы $S_1$ составляет:$S_1 = 4\pi r_1^2 = 4\pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 4\pi \frac{a^2}{4} = \pi a^2$.

Сфера считается описанной около куба, если все вершины куба лежат на её поверхности. Диаметр описанной сферы равен диагонали куба. Диагональ куба $d$ с ребром $a$ находится по формуле $d = \sqrt{a^2+a^2+a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$. Радиус описанной сферы, обозначим его $r_2$, равен половине диагонали куба:$r_2 = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Площадь описанной сферы $S_2$ составляет:$S_2 = 4\pi r_2^2 = 4\pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 4\pi \frac{a^2 \cdot 3}{4} = 3\pi a^2$.

Теперь найдем отношение площади вписанной сферы к площади описанной сферы:$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\pi a^2}{3\pi a^2} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

21.11. Найдите площадь сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 2 см, 3 см и 6 см.

Для того чтобы найти площадь сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда, необходимо сначала найти ее радиус $R$. Диаметр $D$ описанной сферы равен главной диагонали $d$ этого параллелепипеда.

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины $a$, ширины $b$ и высоты $c$):
$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

По условию задачи измерения параллелепипеда равны 2 см, 3 см и 6 см. Подставим эти значения в формулу:

$d^2 = 2^2 + 3^2 + 6^2 = 4 + 9 + 36 = 49$ см$^2$

Тогда диагональ параллелепипеда равна:

$d = \sqrt{49} = 7$ см

Диаметр описанной сферы равен диагонали параллелепипеда, следовательно, $D = d = 7$ см. Радиус сферы $R$ равен половине диаметра:

$R = \frac{D}{2} = \frac{7}{2} = 3.5$ см

Площадь поверхности сферы $S$ вычисляется по формуле:

$S = 4 \pi R^2$ или $S = \pi D^2$

Используем формулу с диаметром для простоты вычислений:

$S = \pi \cdot (7)^2 = 49\pi$ см$^2$

Ответ: $49\pi$ см$^2$.

21.12. Осевым сечением цилиндра является квадрат. Площадь полной поверхности цилиндра равна $S$. Найдите площадь сферы, описанной около данного цилиндра.

Пусть $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами, равными диаметру основания $2r$ и высоте $h$. По условию задачи, это сечение является квадратом, следовательно, его стороны равны:

$h = 2r$

Площадь полной поверхности цилиндра $S$ состоит из площади двух оснований ($S_{осн} = \pi r^2$) и площади боковой поверхности ($S_{бок} = 2\pi rh$):

$S = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2\pi r^2 + 2\pi rh$

Подставим в эту формулу соотношение $h = 2r$, чтобы выразить площадь через одну переменную $r$:

$S = 2\pi r^2 + 2\pi r(2r) = 2\pi r^2 + 4\pi r^2 = 6\pi r^2$

Из этого выражения найдем $\pi r^2$:

$\pi r^2 = \frac{S}{6}$

Теперь рассмотрим сферу, описанную около данного цилиндра. Диаметр этой сферы $D$ будет равен диагонали осевого сечения цилиндра (то есть диагонали квадрата со стороной $2r$). Найдем диагональ квадрата по теореме Пифагора:

$D^2 = (2r)^2 + h^2$

Так как $h=2r$, получаем:

$D^2 = (2r)^2 + (2r)^2 = 4r^2 + 4r^2 = 8r^2$

Тогда радиус сферы $R$ равен половине ее диаметра $D$:

$R^2 = \left(\frac{D}{2}\right)^2 = \frac{D^2}{4} = \frac{8r^2}{4} = 2r^2$

Площадь поверхности сферы $S_{сферы}$ вычисляется по формуле:

$S_{сферы} = 4\pi R^2$

Подставим в эту формулу найденное значение $R^2$:

$S_{сферы} = 4\pi (2r^2) = 8\pi r^2$

Наконец, заменим $\pi r^2$ на выражение $\frac{S}{6}$, которое мы получили ранее:

$S_{сферы} = 8 \left(\pi r^2\right) = 8 \cdot \frac{S}{6} = \frac{4S}{3}$

Ответ: $\frac{4S}{3}$

21.13. Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник. Найдите отношение площади сферы, вписанной в данный конус, к площади сферы, описанной около него.

Пусть осевое сечение конуса — равносторонний треугольник. Обозначим сторону этого треугольника как $a$.

Сфера, вписанная в конус, и сфера, описанная около конуса, будут иметь своими большими кругами окружности, соответственно вписанную в осевое сечение и описанную около него. Таким образом, задача сводится к нахождению отношения радиусов вписанной ($r$) и описанной ($R$) окружностей для равностороннего треугольника, и затем нахождению отношения площадей соответствующих сфер.

Для равностороннего треугольника центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Радиус описанной окружности $R$ в два раза больше радиуса вписанной окружности $r$. Это следует из того, что центр окружностей является точкой пересечения медиан, которая делит их в отношении 2:1.

$R = 2r$

Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле $S = 4\pi \cdot (\text{радиус})^2$.

Площадь вписанной сферы: $S_{вписанной} = 4\pi r^2$

Площадь описанной сферы: $S_{описанной} = 4\pi R^2$

Требуется найти отношение $\frac{S_{вписанной}}{S_{описанной}}$.

$\frac{S_{вписанной}}{S_{описанной}} = \frac{4\pi r^2}{4\pi R^2} = \frac{r^2}{R^2} = \left(\frac{r}{R}\right)^2$

Так как $R = 2r$, то $\frac{r}{R} = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2}$.

Подставим это значение в формулу для отношения площадей: $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$