Страница 206 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Треугольники

22.1. Высота равнобедренного треугольника делит его боковую сторону на отрезки длиной 1 см и 12 см, считая от вершины угла при основании. Найдите основание данного треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $АВС$ с основанием $АВ$ и боковыми сторонами $АС$ и $ВС$, то есть $АС = ВС$. Пусть $АН$ — высота, проведенная из вершины угла при основании $А$ к боковой стороне $ВС$. Точка $Н$ лежит на стороне $ВС$.

Высота $АН$ делит боковую сторону $ВС$ на два отрезка: $ВН$ и $НС$. В условии сказано, что длины этих отрезков равны 1 см и 12 см, "считая от вершины угла при основании". Вершиной угла при основании, лежащей на стороне $ВС$, является точка $В$. Это означает, что мы измеряем отрезки от точки $В$.

Таким образом, возможны два случая:

1. Отрезок, прилегающий к вершине $В$, имеет длину 1 см, а другой — 12 см. То есть $ВН = 1$ см и $НС = 12$ см.

2. Отрезок, прилегающий к вершине $В$, имеет длину 12 см, а другой — 1 см. То есть $ВН = 12$ см и $НС = 1$ см.

Рассмотрим оба случая. В обоих случаях, поскольку основание высоты $Н$ лежит на отрезке $ВС$, длина боковой стороны $ВС$ будет равна сумме длин отрезков $ВН$ и $НС$:
$ВС = 1 \text{ см} + 12 \text{ см} = 13 \text{ см}$.

Так как треугольник $АВС$ равнобедренный, то $АС = ВС = 13$ см.

Случай 1: $ВН = 1$ см и $НС = 12$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $АНС$ (угол $\angle АНС = 90^\circ$, так как $АН$ — высота). По теореме Пифагора имеем: $АС^2 = АН^2 + НС^2$.
Подставим известные значения:
$13^2 = АН^2 + 12^2$
$169 = АН^2 + 144$
$АН^2 = 169 - 144 = 25$
$АН = \sqrt{25} = 5$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $АНВ$ (угол $\angle АНВ = 90^\circ$). По теореме Пифагора имеем: $АВ^2 = АН^2 + ВН^2$.
Подставим известные значения:
$АВ^2 = 5^2 + 1^2$
$АВ^2 = 25 + 1 = 26$
$АВ = \sqrt{26}$ см.

Случай 2: $ВН = 12$ см и $НС = 1$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $АНС$. По теореме Пифагора имеем: $АС^2 = АН^2 + НС^2$.
Подставим известные значения:
$13^2 = АН^2 + 1^2$
$169 = АН^2 + 1$
$АН^2 = 169 - 1 = 168$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $АНВ$. По теореме Пифагора имеем: $АВ^2 = АН^2 + ВН^2$.
Подставим известные значения:
$АВ^2 = 168 + 12^2$
$АВ^2 = 168 + 144 = 312$
$АВ = \sqrt{312} = \sqrt{4 \cdot 78} = 2\sqrt{78}$ см.

Оба случая приводят к корректным геометрическим решениям. Однако, формулировка "делит ... на отрезки длиной 1 см и 12 см, считая от вершины..." в задачах обычно подразумевает, что отрезки перечисляются в порядке их расположения от указанной точки. Таким образом, наиболее вероятным является первый случай, где отрезок, ближайший к вершине $В$ ($ВН$), равен 1 см.
Ответ: $\sqrt{26}$ см.

22.2. Высота $AD$ треугольника $ABC$ делит сторону $BC$ на отрезки $BD$ и $CD$ так, что $BD = 15$ см, $CD = 5$ см. Найдите сторону $AC$, если $\angle B = 30^\circ$.

Поскольку $AD$ — высота треугольника $ABC$, опущенная на сторону $BC$, то она образует два прямоугольных треугольника: $ \triangle{ADB} $ и $ \triangle{ADC} $, где $ \angle{ADB} = \angle{ADC} = 90^\circ $.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADB$. Нам известны катет $BD = 15$ см и угол $ \angle{B} = 30^\circ $. Мы можем найти длину второго катета $AD$ (высоты) через тангенс угла $B$:

$ \tan(\angle{B}) = \frac{AD}{BD} $

Отсюда выразим $AD$:

$ AD = BD \cdot \tan(30^\circ) $

Значение тангенса $30^\circ$ равно $ \frac{\sqrt{3}}{3} $. Подставим значения:

$ AD = 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3} $ см.

2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$. Мы знаем длины его катетов: $CD = 5$ см (по условию) и $AD = 5\sqrt{3}$ см (найдено на предыдущем шаге). Чтобы найти длину гипотенузы $AC$, воспользуемся теоремой Пифагора:

$ AC^2 = AD^2 + CD^2 $

Подставим известные значения в формулу:

$ AC^2 = (5\sqrt{3})^2 + 5^2 $

$ AC^2 = 25 \cdot 3 + 25 $

$ AC^2 = 75 + 25 $

$ AC^2 = 100 $

$ AC = \sqrt{100} = 10 $ см.

Ответ: 10 см.

22.3. Из точки к прямой проведены две наклонные, проекции которых на прямую равны 5 см и 9 см. Найдите расстояние от данной точки до этой прямой, если одна из наклонных на 2 см больше другой.

Пусть $h$ - искомое расстояние от точки до прямой (длина перпендикуляра). Пусть длины наклонных равны $d_1$ и $d_2$, а их проекции на прямую равны $p_1 = 5$ см и $p_2 = 9$ см.

Каждая наклонная, ее проекция и перпендикуляр, опущенный из точки на прямую, образуют прямоугольный треугольник. Общим катетом для обоих треугольников является перпендикуляр $h$. Другие катеты — это проекции наклонных, а гипотенузы — сами наклонные.

Согласно теореме Пифагора, мы можем записать два уравнения:
$d_1^2 = h^2 + p_1^2 = h^2 + 5^2 = h^2 + 25$
$d_2^2 = h^2 + p_2^2 = h^2 + 9^2 = h^2 + 81$

Из геометрии известно, что большей наклонной соответствует большая проекция. Так как $p_2 > p_1$ (9 см > 5 см), то и $d_2 > d_1$. По условию задачи, одна из наклонных на 2 см больше другой, следовательно, $d_2 = d_1 + 2$.

Для решения задачи обозначим длину меньшей наклонной $d_1$ через $x$. Тогда длина большей наклонной $d_2$ будет равна $x + 2$. Подставим эти выражения в полученные ранее уравнения и составим систему:
$\begin{cases} x^2 = h^2 + 25 \\ (x+2)^2 = h^2 + 81 \end{cases}$

Выразим $h^2$ из первого уравнения: $h^2 = x^2 - 25$.
Теперь подставим это выражение во второе уравнение системы:
$(x+2)^2 = (x^2 - 25) + 81$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $x$:
$x^2 + 4x + 4 = x^2 + 56$
$4x = 56 - 4$
$4x = 52$
$x = \frac{52}{4} = 13$

Таким образом, длина меньшей наклонной равна 13 см. Теперь мы можем найти искомое расстояние $h$, подставив значение $x$ в выражение для $h^2$:
$h^2 = x^2 - 25 = 13^2 - 25 = 169 - 25 = 144$
$h = \sqrt{144} = 12$ см.

Ответ: 12 см.

22.4. Найдите площадь треугольника $ABC$, изображённого на рисунке 22.1.

Рис. 22.1

Для того чтобы найти площадь треугольника $ABC$, воспользуемся формулой площади для прямоугольного треугольника, так как по условию угол $C$ прямой ($\angle C = 90^\circ$):

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC$

Из рисунка нам известна длина катета $BC = \sqrt{2}$ см. Нам необходимо найти длину катета $AC$. Катет $AC$ состоит из двух отрезков: $AC = AD + DC$. Найдем длины этих отрезков по отдельности.

1. Нахождение длины отрезка $DC$

Рассмотрим треугольник $BDC$. Углы $\angle ADB$ и $\angle BDC$ являются смежными, так как они вместе образуют развернутый угол на прямой $AC$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

$\angle BDC = 180^\circ - \angle ADB = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$

Треугольник $BDC$ является прямоугольным, так как $\angle BCD = 90^\circ$. Зная два угла в этом треугольнике, можем найти третий угол $\angle CBD$:

$\angle CBD = 180^\circ - \angle BCD - \angle BDC = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$

Поскольку два угла в треугольнике $BDC$ равны ($\angle BDC = \angle CBD = 45^\circ$), он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие против равных углов, равны. Следовательно, $DC = BC$.

Так как $BC = \sqrt{2}$ см, то и $DC = \sqrt{2}$ см.

2. Нахождение длины отрезка $AD$

На рисунке стороны $AD$ и $BD$ треугольника $ABD$ отмечены одинаковыми штрихами, что означает их равенство: $AD = BD$.

Длину стороны $BD$ можно найти из прямоугольного треугольника $BDC$ по теореме Пифагора. $BD$ является гипотенузой в этом треугольнике.

$BD^2 = BC^2 + DC^2$

$BD^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 = 2 + 2 = 4$

$BD = \sqrt{4} = 2$ см.

Поскольку $AD = BD$, то $AD = 2$ см.

3. Вычисление площади треугольника $ABC$

Теперь мы можем найти полную длину катета $AC$:

$AC = AD + DC = 2 + \sqrt{2}$ см.

Подставим найденные значения длин катетов $AC$ и $BC$ в формулу площади:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot (2 + \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}$

Раскроем скобки:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot (2\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2) = \frac{1}{2} \cdot (2\sqrt{2} + 2)$

Вынесем общий множитель 2 за скобки и сократим дробь:

$S_{ABC} = \frac{2(\sqrt{2} + 1)}{2} = \sqrt{2} + 1$ см².

Ответ: $(\sqrt{2} + 1)$ см².

22.5. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит его гипотенузу на отрезки 8 см и 12 см. Найдите периметр треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Пусть $a$ и $b$ - его катеты, а $c$ - гипотенуза. В треугольник вписана окружность с центром $O$ и радиусом $r$. Обозначим точки касания окружности со сторонами $AC$, $BC$ и $AB$ как $K$, $L$ и $M$ соответственно.

По условию, точка касания $M$ делит гипотенузу $AB$ на отрезки длиной 8 см и 12 см. Пусть $AM = 8$ см и $BM = 12$ см.

Длина гипотенузы $c$ равна сумме длин этих отрезков:
$c = AB = AM + BM = 8 + 12 = 20$ см.

Согласно свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, длины отрезков касательных от вершины до точек касания равны. Поэтому:
$AK = AM = 8$ см;
$BL = BM = 12$ см.

Поскольку треугольник прямоугольный, а радиусы $OK$ и $OL$ перпендикулярны катетам $AC$ и $BC$ в точках касания, четырехугольник $CKOL$ является квадратом. Следовательно, длины отрезков от вершины прямого угла до точек касания равны радиусу вписанной окружности:
$CK = CL = r$.

Теперь выразим длины катетов через $r$:
Катет $a = BC = BL + LC = 12 + r$;
Катет $b = AC = AK + KC = 8 + r$.

Применим теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:
$(12 + r)^2 + (8 + r)^2 = 20^2$
$(144 + 24r + r^2) + (64 + 16r + r^2) = 400$
$2r^2 + 40r + 208 = 400$
$2r^2 + 40r - 192 = 0$
Разделим обе части уравнения на 2:
$r^2 + 20r - 96 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно -96, а их сумма -20. Подбором находим корни: $r_1 = 4$ и $r_2 = -24$. Так как радиус окружности не может быть отрицательным, $r = 4$ см.

Периметр треугольника $P$ - это сумма длин всех его сторон:
$P = a + b + c = (12 + r) + (8 + r) + c$
$P = 20 + 2r + c$
Подставив значения $r=4$ и $c=20$:
$P = 20 + 2(4) + 20 = 20 + 8 + 20 = 48$ см.

Ответ: 48 см.

22.6. Периметр равнобедренного треугольника равен 100 см, а высота, опущенная на основание, — 30 см. Найдите площадь треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник, где $a$ — длина основания, а $b$ — длина боковой стороны. Периметр треугольника $P$ равен 100 см, а высота $h$, опущенная на основание, равна 30 см.
Периметр равнобедренного треугольника вычисляется по формуле: $P = a + 2b$.
Согласно условию, $100 = a + 2b$.
В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, является также и медианой. Она делит основание на два равных отрезка, каждый длиной $\frac{a}{2}$. Эта высота, боковая сторона и половина основания образуют прямоугольный треугольник.
Применим теорему Пифагора для этого прямоугольного треугольника: $b^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2$.
Подставим известное значение высоты $h = 30$ см:
$b^2 = 30^2 + (\frac{a}{2})^2 = 900 + \frac{a^2}{4}$.
Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$:
1) $a + 2b = 100$
2) $b^2 = 900 + \frac{a^2}{4}$
Из первого уравнения выразим $b$ через $a$:
$2b = 100 - a$
$b = \frac{100 - a}{2} = 50 - \frac{a}{2}$
Теперь подставим это выражение для $b$ во второе уравнение:
$(50 - \frac{a}{2})^2 = 900 + \frac{a^2}{4}$
Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата разности:
$50^2 - 2 \cdot 50 \cdot \frac{a}{2} + (\frac{a}{2})^2 = 900 + \frac{a^2}{4}$
$2500 - 50a + \frac{a^2}{4} = 900 + \frac{a^2}{4}$
Сократим слагаемое $\frac{a^2}{4}$ в обеих частях уравнения:
$2500 - 50a = 900$
Решим полученное линейное уравнение:
$50a = 2500 - 900$
$50a = 1600$
$a = \frac{1600}{50} = 32$ см.
Мы нашли длину основания. Теперь можем вычислить площадь треугольника $S$ по формуле: $S = \frac{1}{2}ah$.
$S = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot 30 = 16 \cdot 30 = 480$ см².
Ответ: 480 см².

22.7. В треугольнике ABC $\angle C = 90^\circ$, $\angle B = 30^\circ$. Серединный перпендикуляр отрезка AB пересекает его в точке M, а сторону BC — в точке K. Докажите, что $MK = \frac{1}{3}BC$.

Рассмотрим данный треугольник $ABC$. По условию, $\angle C = 90^\circ$ и $\angle B = 30^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, следовательно, третий угол $\angle A = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Прямая $MK$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$. Точка $K$ лежит на этом перпендикуляре, а значит, по свойству серединного перпендикуляра, она равноудалена от концов отрезка $A$ и $B$. Таким образом, мы получаем равенство $KA = KB$.

Рассмотрим треугольник $AKB$. Поскольку $KA = KB$, этот треугольник является равнобедренным с основанием $AB$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle KAB = \angle KBA$. Так как $\angle KBA$ — это тот же угол, что и $\angle B$ в исходном треугольнике, то $\angle KAB = \angle KBA = 30^\circ$.

Теперь мы можем найти угол $\angle CAK$. Он является частью угла $\angle A$ треугольника $ABC$.
$\angle CAK = \angle A - \angle KAB = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ$.

Далее рассмотрим треугольник $AKC$. Он прямоугольный, так как $\angle C = 90^\circ$. В этом треугольнике мы нашли, что $\angle CAK = 30^\circ$. По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. В нашем случае катет $CK$ лежит против угла $\angle CAK = 30^\circ$, а гипотенузой является сторона $AK$. Следовательно:
$CK = \frac{1}{2}AK$.

Так как мы ранее установили, что $AK = BK$, мы можем подставить $BK$ вместо $AK$ в полученное равенство:
$CK = \frac{1}{2}BK$.

Точка $K$ лежит на стороне $BC$, поэтому длина стороны $BC$ равна сумме длин отрезков $BK$ и $CK$: $BC = BK + CK$. Заменим $CK$ на выражение $\frac{1}{2}BK$:
$BC = BK + \frac{1}{2}BK = \frac{3}{2}BK$.

Из этого равенства выразим длину отрезка $BK$ через $BC$:
$BK = \frac{2}{3}BC$.

Наконец, рассмотрим треугольник $BKM$. По определению, серединный перпендикуляр $MK$ перпендикулярен отрезку $AB$, поэтому $\angle KMB = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $BKM$ является прямоугольным. В этом треугольнике угол при вершине $B$ равен $30^\circ$. Катет $MK$ лежит против этого угла, значит, он равен половине гипотенузы $BK$:
$MK = \frac{1}{2}BK$.

Подставим в это равенство найденное ранее выражение для $BK$:
$MK = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{2}{3}BC\right) = \frac{1}{3}BC$.

Таким образом, требуемое равенство доказано.

Ответ: Равенство $MK = \frac{1}{3}BC$ доказано.

22.8. Один из углов прямоугольного треугольника равен $15^\circ$. Докажите, что высота треугольника, проведённая к его гипотенузе, в 4 раза меньше гипотенузы.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$. Пусть один из его острых углов, например $\angle A$, равен $15^\circ$. Обозначим гипотенузу $AB$ как $c$.

Проведём высоту $CH$ из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$. Длину этой высоты обозначим как $h$. Нам необходимо доказать, что $h = \frac{c}{4}$.

Проведём также медиану $CM$ из вершины $C$ к гипотенузе $AB$. Точка $M$ является серединой гипотенузы $AB$.

Согласно свойству медианы прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе, её длина равна половине длины гипотенузы. Таким образом:$CM = AM = BM = \frac{1}{2}AB = \frac{c}{2}$.

Рассмотрим треугольник $AMC$. Поскольку $CM = AM$, этот треугольник является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому:$\angle ACM = \angle CAM = \angle A = 15^\circ$.

Теперь рассмотрим угол $\angle CMB$. Этот угол является внешним углом для треугольника $AMC$ при вершине $M$. По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:$\angle CMB = \angle CAM + \angle ACM = 15^\circ + 15^\circ = 30^\circ$.

Рассмотрим треугольник $CMH$. Так как $CH$ — высота, то $\angle CHM = 90^\circ$, и следовательно, треугольник $CMH$ — прямоугольный. В этом треугольнике нам известен угол $\angle CMH = \angle CMB = 30^\circ$. Катет $CH$ (наша высота $h$) лежит напротив этого угла.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. В треугольнике $CMH$ гипотенузой является сторона $CM$. Следовательно, $CH = \frac{1}{2}CM$.

Подставим ранее найденные значения в это равенство:$h = CH$ и $CM = \frac{c}{2}$. Получаем: $h = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{c}{2}\right) = \frac{c}{4}$.

Таким образом, мы доказали, что высота треугольника, проведённая к его гипотенузе, в 4 раза меньше гипотенузы. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что высота, проведённая к гипотенузе, равна четверти гипотенузы ($h = \frac{c}{4}$).

22.9. В прямоугольном треугольнике $MNK$ на гипотенузу $MK$ опущена высота $NF$. Площадь треугольника $MNF$ равна $2 \text{ см}^2$, а площадь треугольника $KNF$ – $32 \text{ см}^2$. Найдите гипотенузу треугольника $MNK$.

Пусть $MNK$ — прямоугольный треугольник, где $\angle N = 90^\circ$. $NF$ — высота, опущенная на гипотенузу $MK$. Эта высота делит треугольник $MNK$ на два меньших прямоугольных треугольника: $\triangle MNF$ и $\triangle KNF$. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Для треугольника $MNF$ (прямой угол при $F$), катетами являются $MF$ и $NF$. Его площадь:$S_{MNF} = \frac{1}{2} \cdot MF \cdot NF$По условию $S_{MNF} = 2 \text{ см}^2$, следовательно:$2 = \frac{1}{2} \cdot MF \cdot NF \implies MF \cdot NF = 4$

Для треугольника $KNF$ (прямой угол при $F$), катетами являются $KF$ и $NF$. Его площадь:$S_{KNF} = \frac{1}{2} \cdot KF \cdot NF$По условию $S_{KNF} = 32 \text{ см}^2$, следовательно:$32 = \frac{1}{2} \cdot KF \cdot NF \implies KF \cdot NF = 64$

Из полученных уравнений выразим длины отрезков $MF$ и $KF$ через высоту $NF$:$MF = \frac{4}{NF}$$KF = \frac{64}{NF}$

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, является средним геометрическим для отрезков, на которые она делит гипотенузу. Это свойство выражается формулой:$NF^2 = MF \cdot KF$

Подставим в эту формулу выражения для $MF$ и $KF$:$NF^2 = \left(\frac{4}{NF}\right) \cdot \left(\frac{64}{NF}\right)$$NF^2 = \frac{256}{NF^2}$$NF^4 = 256$$NF = \sqrt[4]{256} = 4$ см.

Теперь, зная длину высоты $NF$, мы можем найти длины отрезков $MF$ и $KF$:$MF = \frac{4}{NF} = \frac{4}{4} = 1$ см.$KF = \frac{64}{NF} = \frac{64}{4} = 16$ см.

Гипотенуза $MK$ является суммой длин отрезков $MF$ и $KF$:$MK = MF + KF = 1 + 16 = 17$ см.

Ответ: 17 см.

22.10. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) отрезок $CD$ — высота. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники $ACD$ и $DCB$, соответственно равны $r_1$ и $r_2$. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ катеты $BC = a$, $AC = b$ и гипотенуза $AB = c$. Высота $CD$, проведенная к гипотенузе, делит треугольник $ABC$ на два меньших прямоугольных треугольника: $\triangle ACD$ и $\triangle DCB$.

Эти треугольники подобны исходному треугольнику $ABC$, так как они все прямоугольные и имеют по одному общему острому углу с $\triangle ABC$ (признак подобия по двум углам): $\triangle ACD \sim \triangle ABC$ (общий угол $A$) и $\triangle DCB \sim \triangle ABC$ (общий угол $B$).

Отношение радиусов вписанных окружностей подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Пусть $r$ – радиус окружности, вписанной в $\triangle ABC$. По условию, $r_1$ – радиус окружности, вписанной в $\triangle ACD$, и $r_2$ – радиус окружности, вписанной в $\triangle DCB$.

Найдем коэффициенты подобия. Для пары подобных треугольников $\triangle ACD$ и $\triangle ABC$ коэффициент подобия $k_1$ равен отношению их гипотенуз: $k_1 = \frac{AC}{AB} = \frac{b}{c}$. Следовательно, отношение их радиусов вписанных окружностей также равно $k_1$: $\frac{r_1}{r} = \frac{b}{c}$, откуда $r_1 = r \cdot \frac{b}{c}$.

Аналогично для пары подобных треугольников $\triangle DCB$ и $\triangle ABC$ коэффициент подобия $k_2$ равен отношению их гипотенуз: $k_2 = \frac{BC}{AB} = \frac{a}{c}$. Следовательно, отношение их радиусов вписанных окружностей также равно $k_2$: $\frac{r_2}{r} = \frac{a}{c}$, откуда $r_2 = r \cdot \frac{a}{c}$.

Возведем полученные равенства для $r_1$ и $r_2$ в квадрат: $r_1^2 = r^2 \cdot \frac{b^2}{c^2}$
$r_2^2 = r^2 \cdot \frac{a^2}{c^2}$

Сложим эти два уравнения: $r_1^2 + r_2^2 = r^2 \cdot \frac{b^2}{c^2} + r^2 \cdot \frac{a^2}{c^2} = r^2 \cdot \frac{a^2 + b^2}{c^2}$.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$ имеем $a^2 + b^2 = c^2$. Подставим это в наше выражение: $r_1^2 + r_2^2 = r^2 \cdot \frac{c^2}{c^2} = r^2$.

Отсюда, так как радиус является положительной величиной, получаем искомый радиус $r$: $r = \sqrt{r_1^2 + r_2^2}$.

Ответ: $\sqrt{r_1^2 + r_2^2}$.

22.11. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отметили точку $K$ так, что $\angle CAK = \angle ABC$, $BK = 12$ см, $KC = 4$ см. Найдите сторону $AC$.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $KAC$.

1. Угол $\angle C$ является общим для обоих треугольников, то есть $\angle ACB = \angle KCA$.

2. По условию задачи $\angle ABC = \angle CAK$.

Поскольку два угла одного треугольника ($\triangle ABC$) соответственно равны двум углам другого треугольника ($\triangle KAC$), то эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам). Следовательно, $\triangle ABC \sim \triangle KAC$.

Из подобия треугольников следует, что их соответственные стороны пропорциональны:

$\frac{BC}{AC} = \frac{AC}{KC} = \frac{AB}{KA}$

Из первой части пропорции $\frac{BC}{AC} = \frac{AC}{KC}$ можно выразить $AC^2$:

$AC^2 = BC \cdot KC$

Найдем длину стороны $BC$. Так как точка $K$ лежит на стороне $BC$, то длина стороны $BC$ равна сумме длин отрезков $BK$ и $KC$.

$BC = BK + KC = 12 \text{ см} + 4 \text{ см} = 16 \text{ см}$

Теперь подставим найденные значения $BC$ и $KC$ в формулу для $AC^2$:

$AC^2 = 16 \cdot 4 = 64$

Чтобы найти длину стороны $AC$, извлечем квадратный корень из полученного значения:

$AC = \sqrt{64} = 8$ (см)

Ответ: 8 см.

22.12. На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отметили точку $D$ так, что $\angle ABD = \angle ACB$. Найдите отрезок $AD$, если $AB = 6$ см, $AC = 18$ см.

Рассмотрим треугольники $ \triangle ABD $ и $ \triangle ACB $.

В этих треугольниках угол $ \angle A $ (или $ \angle BAC $) является общим. По условию задачи нам дано, что $ \angle ABD = \angle ACB $.

Так как два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Следовательно, $ \triangle ABD \sim \triangle ACB $ по первому признаку подобия (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$ \frac{AD}{AB} = \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CB} $

Для нахождения отрезка $ AD $ воспользуемся первой частью пропорции, так как длины сторон $ AB $ и $ AC $ нам известны:

$ \frac{AD}{AB} = \frac{AB}{AC} $

Выразим $ AD $ из этого соотношения:

$ AD = \frac{AB \cdot AB}{AC} = \frac{AB^2}{AC} $

Подставим известные значения $ AB = 6 $ см и $ AC = 18 $ см:

$ AD = \frac{6^2}{18} = \frac{36}{18} = 2 $ см.

Ответ: 2 см.