Номер 22.10, страница 206 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.10. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) отрезок $CD$ — высота. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники $ACD$ и $DCB$, соответственно равны $r_1$ и $r_2$. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ катеты $BC = a$, $AC = b$ и гипотенуза $AB = c$. Высота $CD$, проведенная к гипотенузе, делит треугольник $ABC$ на два меньших прямоугольных треугольника: $\triangle ACD$ и $\triangle DCB$.

Эти треугольники подобны исходному треугольнику $ABC$, так как они все прямоугольные и имеют по одному общему острому углу с $\triangle ABC$ (признак подобия по двум углам): $\triangle ACD \sim \triangle ABC$ (общий угол $A$) и $\triangle DCB \sim \triangle ABC$ (общий угол $B$).

Отношение радиусов вписанных окружностей подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Пусть $r$ – радиус окружности, вписанной в $\triangle ABC$. По условию, $r_1$ – радиус окружности, вписанной в $\triangle ACD$, и $r_2$ – радиус окружности, вписанной в $\triangle DCB$.

Найдем коэффициенты подобия. Для пары подобных треугольников $\triangle ACD$ и $\triangle ABC$ коэффициент подобия $k_1$ равен отношению их гипотенуз: $k_1 = \frac{AC}{AB} = \frac{b}{c}$. Следовательно, отношение их радиусов вписанных окружностей также равно $k_1$: $\frac{r_1}{r} = \frac{b}{c}$, откуда $r_1 = r \cdot \frac{b}{c}$.

Аналогично для пары подобных треугольников $\triangle DCB$ и $\triangle ABC$ коэффициент подобия $k_2$ равен отношению их гипотенуз: $k_2 = \frac{BC}{AB} = \frac{a}{c}$. Следовательно, отношение их радиусов вписанных окружностей также равно $k_2$: $\frac{r_2}{r} = \frac{a}{c}$, откуда $r_2 = r \cdot \frac{a}{c}$.

Возведем полученные равенства для $r_1$ и $r_2$ в квадрат: $r_1^2 = r^2 \cdot \frac{b^2}{c^2}$
$r_2^2 = r^2 \cdot \frac{a^2}{c^2}$

Сложим эти два уравнения: $r_1^2 + r_2^2 = r^2 \cdot \frac{b^2}{c^2} + r^2 \cdot \frac{a^2}{c^2} = r^2 \cdot \frac{a^2 + b^2}{c^2}$.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$ имеем $a^2 + b^2 = c^2$. Подставим это в наше выражение: $r_1^2 + r_2^2 = r^2 \cdot \frac{c^2}{c^2} = r^2$.

Отсюда, так как радиус является положительной величиной, получаем искомый радиус $r$: $r = \sqrt{r_1^2 + r_2^2}$.

Ответ: $\sqrt{r_1^2 + r_2^2}$.