Номер 22.7, страница 206 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.7. В треугольнике ABC $\angle C = 90^\circ$, $\angle B = 30^\circ$. Серединный перпендикуляр отрезка AB пересекает его в точке M, а сторону BC — в точке K. Докажите, что $MK = \frac{1}{3}BC$.

Рассмотрим данный треугольник $ABC$. По условию, $\angle C = 90^\circ$ и $\angle B = 30^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, следовательно, третий угол $\angle A = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Прямая $MK$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$. Точка $K$ лежит на этом перпендикуляре, а значит, по свойству серединного перпендикуляра, она равноудалена от концов отрезка $A$ и $B$. Таким образом, мы получаем равенство $KA = KB$.

Рассмотрим треугольник $AKB$. Поскольку $KA = KB$, этот треугольник является равнобедренным с основанием $AB$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle KAB = \angle KBA$. Так как $\angle KBA$ — это тот же угол, что и $\angle B$ в исходном треугольнике, то $\angle KAB = \angle KBA = 30^\circ$.

Теперь мы можем найти угол $\angle CAK$. Он является частью угла $\angle A$ треугольника $ABC$.
$\angle CAK = \angle A - \angle KAB = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ$.

Далее рассмотрим треугольник $AKC$. Он прямоугольный, так как $\angle C = 90^\circ$. В этом треугольнике мы нашли, что $\angle CAK = 30^\circ$. По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. В нашем случае катет $CK$ лежит против угла $\angle CAK = 30^\circ$, а гипотенузой является сторона $AK$. Следовательно:
$CK = \frac{1}{2}AK$.

Так как мы ранее установили, что $AK = BK$, мы можем подставить $BK$ вместо $AK$ в полученное равенство:
$CK = \frac{1}{2}BK$.

Точка $K$ лежит на стороне $BC$, поэтому длина стороны $BC$ равна сумме длин отрезков $BK$ и $CK$: $BC = BK + CK$. Заменим $CK$ на выражение $\frac{1}{2}BK$:
$BC = BK + \frac{1}{2}BK = \frac{3}{2}BK$.

Из этого равенства выразим длину отрезка $BK$ через $BC$:
$BK = \frac{2}{3}BC$.

Наконец, рассмотрим треугольник $BKM$. По определению, серединный перпендикуляр $MK$ перпендикулярен отрезку $AB$, поэтому $\angle KMB = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $BKM$ является прямоугольным. В этом треугольнике угол при вершине $B$ равен $30^\circ$. Катет $MK$ лежит против этого угла, значит, он равен половине гипотенузы $BK$:
$MK = \frac{1}{2}BK$.

Подставим в это равенство найденное ранее выражение для $BK$:
$MK = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{2}{3}BC\right) = \frac{1}{3}BC$.

Таким образом, требуемое равенство доказано.

Ответ: Равенство $MK = \frac{1}{3}BC$ доказано.