Номер 22.5, страница 206 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.5. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит его гипотенузу на отрезки 8 см и 12 см. Найдите периметр треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Пусть $a$ и $b$ - его катеты, а $c$ - гипотенуза. В треугольник вписана окружность с центром $O$ и радиусом $r$. Обозначим точки касания окружности со сторонами $AC$, $BC$ и $AB$ как $K$, $L$ и $M$ соответственно.

По условию, точка касания $M$ делит гипотенузу $AB$ на отрезки длиной 8 см и 12 см. Пусть $AM = 8$ см и $BM = 12$ см.

Длина гипотенузы $c$ равна сумме длин этих отрезков:
$c = AB = AM + BM = 8 + 12 = 20$ см.

Согласно свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, длины отрезков касательных от вершины до точек касания равны. Поэтому:
$AK = AM = 8$ см;
$BL = BM = 12$ см.

Поскольку треугольник прямоугольный, а радиусы $OK$ и $OL$ перпендикулярны катетам $AC$ и $BC$ в точках касания, четырехугольник $CKOL$ является квадратом. Следовательно, длины отрезков от вершины прямого угла до точек касания равны радиусу вписанной окружности:
$CK = CL = r$.

Теперь выразим длины катетов через $r$:
Катет $a = BC = BL + LC = 12 + r$;
Катет $b = AC = AK + KC = 8 + r$.

Применим теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:
$(12 + r)^2 + (8 + r)^2 = 20^2$
$(144 + 24r + r^2) + (64 + 16r + r^2) = 400$
$2r^2 + 40r + 208 = 400$
$2r^2 + 40r - 192 = 0$
Разделим обе части уравнения на 2:
$r^2 + 20r - 96 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно -96, а их сумма -20. Подбором находим корни: $r_1 = 4$ и $r_2 = -24$. Так как радиус окружности не может быть отрицательным, $r = 4$ см.

Периметр треугольника $P$ - это сумма длин всех его сторон:
$P = a + b + c = (12 + r) + (8 + r) + c$
$P = 20 + 2r + c$
Подставив значения $r=4$ и $c=20$:
$P = 20 + 2(4) + 20 = 20 + 8 + 20 = 48$ см.

Ответ: 48 см.