Номер 21.21, страница 200 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.21. Около шара радиуса 1 см описан конус, высота которого равна 4 см. Найдите отношение полной поверхности конуса к площади поверхности шара.

Для решения задачи необходимо найти площадь полной поверхности конуса и площадь поверхности шара, а затем вычислить их отношение. Обозначим радиус шара как $r$, высоту конуса как $H$, радиус основания конуса как $R$ и образующую конуса как $l$.

По условию дано:

• Радиус шара $r = 1$ см.
• Высота конуса $H = 4$ см.

Сначала вычислим площадь поверхности шара по формуле $S_{шара} = 4 \pi r^2$.
Подставив значение $r=1$ см, получаем:
$S_{шара} = 4 \pi (1)^2 = 4\pi$ см².

Теперь найдем параметры конуса: радиус основания $R$ и образующую $l$. Для этого рассмотрим осевое сечение конуса, в который вписан шар. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник, в который вписана окружность. Высота треугольника является высотой конуса $H$, а радиус вписанной окружности — радиусом шара $r$.

Пусть осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник $\triangle ABC$ с вершиной $A$ и высотой $AO = H = 4$. Центр вписанной окружности $P$ (который является центром шара) лежит на высоте $AO$. Расстояние от центра $P$ до основания конуса равно радиусу шара, то есть $PO = r = 1$. Следовательно, расстояние от вершины конуса $A$ до центра шара $P$ равно $AP = AO - PO = H - r = 4 - 1 = 3$ см.

Проведем из центра $P$ радиус $PK$ в точку касания с образующей $AC$. Треугольник $\triangle APK$ будет прямоугольным, так как радиус перпендикулярен касательной в точке касания. Треугольник $\triangle AOC$ также является прямоугольным, так как $AO$ — высота конуса. Треугольники $\triangle APK$ и $\triangle AOC$ подобны по общему острому углу $\angle OAC$ и прямым углам ($\angle PKA = \angle AOC = 90^\circ$).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
$\frac{PK}{OC} = \frac{AP}{AC}$
Подставляя обозначения $PK = r$, $OC = R$, $AP = H-r$ и $AC = l$, получаем:
$\frac{r}{R} = \frac{H-r}{l}$
Подставим известные числовые значения:
$\frac{1}{R} = \frac{3}{l} \Rightarrow l = 3R$.

С другой стороны, для прямоугольного треугольника $\triangle AOC$ по теореме Пифагора выполняется равенство: $l^2 = H^2 + R^2$.
Подставим в это уравнение найденное соотношение $l = 3R$ и известную высоту $H=4$:
$(3R)^2 = 4^2 + R^2$
$9R^2 = 16 + R^2$
$8R^2 = 16$
$R^2 = 2 \Rightarrow R = \sqrt{2}$ см.

Теперь найдем длину образующей:
$l = 3R = 3\sqrt{2}$ см.

Далее вычислим площадь полной поверхности конуса. Она состоит из площади основания ($S_{осн} = \pi R^2$) и площади боковой поверхности ($S_{бок} = \pi R l$):
$S_{конуса} = S_{осн} + S_{бок} = \pi R^2 + \pi R l = \pi R(R+l)$.
Подставим найденные значения $R = \sqrt{2}$ и $l = 3\sqrt{2}$:
$S_{конуса} = \pi \sqrt{2}(\sqrt{2} + 3\sqrt{2}) = \pi \sqrt{2}(4\sqrt{2}) = 4\pi (\sqrt{2})^2 = 4\pi \cdot 2 = 8\pi$ см².

Наконец, найдем искомое отношение полной поверхности конуса к площади поверхности шара:
$\frac{S_{конуса}}{S_{шара}} = \frac{8\pi}{4\pi} = 2$.

Ответ: 2