Номер 21.19, страница 200 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.19. На высоте конуса как на диаметре построена сфера. Площадь части поверхности сферы, лежащей вне конуса, равна площади основания конуса. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса.

Пусть $H$ — высота конуса, $R$ — радиус его основания, а $2\alpha$ — угол при вершине осевого сечения конуса. Тогда $\alpha$ — это угол между высотой конуса и его образующей. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом основания и образующей, следует соотношение: $R = H \tan \alpha$.

Площадь основания конуса $S_{осн}$ вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \pi R^2 = \pi (H \tan \alpha)^2 = \pi H^2 \tan^2 \alpha$.

Согласно условию, на высоте конуса как на диаметре построена сфера. Это означает, что радиус сферы $r_{сф}$ равен половине высоты конуса: $r_{сф} = H/2$. Центр сферы находится на середине высоты конуса.

Чтобы найти площадь части поверхности сферы, лежащей вне конуса ($S_{внеш}$), найдем сначала линию их пересечения. Для удобства введем систему координат, в которой вершина конуса $S$ находится в точке $(0, 0, H)$, а центр основания $O$ — в начале координат $(0, 0, 0)$. Высота конуса лежит на оси $Oz$.

Уравнение сферы с центром в точке $(0, 0, H/2)$ и радиусом $H/2$ имеет вид:

$x^2 + y^2 + (z - H/2)^2 = (H/2)^2$, что равносильно $x^2 + y^2 + z^2 - Hz = 0$.

Уравнение боковой поверхности конуса: $x^2 + y^2 = \left(\frac{R}{H}(H-z)\right)^2 = \tan^2 \alpha (H-z)^2$.

Для нахождения пересечения подставим выражение для $x^2 + y^2$ из уравнения конуса в уравнение сферы:

$\tan^2 \alpha (H-z)^2 + z^2 - Hz = 0$

$\tan^2 \alpha (H-z)^2 - z(H-z) = 0$

$(H-z)[\tan^2 \alpha (H-z) - z] = 0$

Это уравнение имеет два решения для координаты $z$:

1. $z = H$, что соответствует вершине конуса.
2. $\tan^2 \alpha (H-z) - z = 0 \implies H \tan^2 \alpha = z(1+\tan^2 \alpha) \implies z = H \frac{\tan^2 \alpha}{1+\tan^2 \alpha} = H \sin^2 \alpha$.

Таким образом, конус и сфера пересекаются по окружности, лежащей в плоскости $z_{int} = H \sin^2 \alpha$.

Теперь определим, какая часть поверхности сферы лежит вне конуса. Точка на поверхности сферы находится вне конуса, если расстояние от нее до оси конуса больше, чем радиус конуса на той же высоте. Для точки $(x,y,z)$ на сфере имеем $x^2+y^2 = Hz-z^2$. Радиус конуса на высоте $z$ равен $r_{кон}(z) = \tan \alpha (H-z)$. Условие "вне конуса" записывается как $\sqrt{Hz-z^2} > \tan \alpha (H-z)$. Возведя в квадрат, получим $z(H-z) > \tan^2 \alpha (H-z)^2$. Так как $z \in (0, H)$, то $H-z > 0$, и можно на него сократить: $z > \tan^2 \alpha (H-z)$, что приводит к $z > H \sin^2 \alpha$.

Следовательно, часть поверхности сферы вне конуса — это сферический сегмент (шапочка), находящийся при $z > H \sin^2 \alpha$. Этот сегмент включает вершину конуса. Высота этого сферического сегмента $h_{сегм}$ равна:

$h_{сегм} = H - z_{int} = H - H \sin^2 \alpha = H \cos^2 \alpha$.

Площадь сферического сегмента вычисляется по формуле $S = 2 \pi r_{сф} h_{сегм}$.

$S_{внеш} = 2 \pi \left(\frac{H}{2}\right) (H \cos^2 \alpha) = \pi H^2 \cos^2 \alpha$.

По условию задачи, $S_{внеш} = S_{осн}$:

$\pi H^2 \cos^2 \alpha = \pi H^2 \tan^2 \alpha$.

Сокращая на $\pi H^2$, получаем:

$\cos^2 \alpha = \tan^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$.

Отсюда $\cos^4 \alpha = \sin^2 \alpha$. Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$, имеем:

$\cos^4 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$.

Сделаем замену $x = \cos^2 \alpha$. Так как $0 < \alpha < \pi/2$, то $0 < x < 1$.

$x^2 = 1 - x \implies x^2 + x - 1 = 0$.

Решаем квадратное уравнение:

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Поскольку $x > 0$, выбираем корень со знаком плюс:

$x = \cos^2 \alpha = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

Нам нужно найти угол при вершине осевого сечения, то есть $2\alpha$. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 2\cos^2 \alpha - 1$.

$\cos(2\alpha) = 2 \left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) - 1 = (\sqrt{5}-1) - 1 = \sqrt{5}-2$.

Таким образом, искомый угол равен $\arccos(\sqrt{5}-2)$.

Ответ: $\arccos(\sqrt{5}-2)$.