Номер 22.3, страница 206 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.3. Из точки к прямой проведены две наклонные, проекции которых на прямую равны 5 см и 9 см. Найдите расстояние от данной точки до этой прямой, если одна из наклонных на 2 см больше другой.

Пусть $h$ - искомое расстояние от точки до прямой (длина перпендикуляра). Пусть длины наклонных равны $d_1$ и $d_2$, а их проекции на прямую равны $p_1 = 5$ см и $p_2 = 9$ см.

Каждая наклонная, ее проекция и перпендикуляр, опущенный из точки на прямую, образуют прямоугольный треугольник. Общим катетом для обоих треугольников является перпендикуляр $h$. Другие катеты — это проекции наклонных, а гипотенузы — сами наклонные.

Согласно теореме Пифагора, мы можем записать два уравнения:
$d_1^2 = h^2 + p_1^2 = h^2 + 5^2 = h^2 + 25$
$d_2^2 = h^2 + p_2^2 = h^2 + 9^2 = h^2 + 81$

Из геометрии известно, что большей наклонной соответствует большая проекция. Так как $p_2 > p_1$ (9 см > 5 см), то и $d_2 > d_1$. По условию задачи, одна из наклонных на 2 см больше другой, следовательно, $d_2 = d_1 + 2$.

Для решения задачи обозначим длину меньшей наклонной $d_1$ через $x$. Тогда длина большей наклонной $d_2$ будет равна $x + 2$. Подставим эти выражения в полученные ранее уравнения и составим систему:
$\begin{cases} x^2 = h^2 + 25 \\ (x+2)^2 = h^2 + 81 \end{cases}$

Выразим $h^2$ из первого уравнения: $h^2 = x^2 - 25$.
Теперь подставим это выражение во второе уравнение системы:
$(x+2)^2 = (x^2 - 25) + 81$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $x$:
$x^2 + 4x + 4 = x^2 + 56$
$4x = 56 - 4$
$4x = 52$
$x = \frac{52}{4} = 13$

Таким образом, длина меньшей наклонной равна 13 см. Теперь мы можем найти искомое расстояние $h$, подставив значение $x$ в выражение для $h^2$:
$h^2 = x^2 - 25 = 13^2 - 25 = 169 - 25 = 144$
$h = \sqrt{144} = 12$ см.

Ответ: 12 см.