Номер 22.9, страница 206 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.9. В прямоугольном треугольнике $MNK$ на гипотенузу $MK$ опущена высота $NF$. Площадь треугольника $MNF$ равна $2 \text{ см}^2$, а площадь треугольника $KNF$ – $32 \text{ см}^2$. Найдите гипотенузу треугольника $MNK$.

Пусть $MNK$ — прямоугольный треугольник, где $\angle N = 90^\circ$. $NF$ — высота, опущенная на гипотенузу $MK$. Эта высота делит треугольник $MNK$ на два меньших прямоугольных треугольника: $\triangle MNF$ и $\triangle KNF$. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Для треугольника $MNF$ (прямой угол при $F$), катетами являются $MF$ и $NF$. Его площадь:$S_{MNF} = \frac{1}{2} \cdot MF \cdot NF$По условию $S_{MNF} = 2 \text{ см}^2$, следовательно:$2 = \frac{1}{2} \cdot MF \cdot NF \implies MF \cdot NF = 4$

Для треугольника $KNF$ (прямой угол при $F$), катетами являются $KF$ и $NF$. Его площадь:$S_{KNF} = \frac{1}{2} \cdot KF \cdot NF$По условию $S_{KNF} = 32 \text{ см}^2$, следовательно:$32 = \frac{1}{2} \cdot KF \cdot NF \implies KF \cdot NF = 64$

Из полученных уравнений выразим длины отрезков $MF$ и $KF$ через высоту $NF$:$MF = \frac{4}{NF}$$KF = \frac{64}{NF}$

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, является средним геометрическим для отрезков, на которые она делит гипотенузу. Это свойство выражается формулой:$NF^2 = MF \cdot KF$

Подставим в эту формулу выражения для $MF$ и $KF$:$NF^2 = \left(\frac{4}{NF}\right) \cdot \left(\frac{64}{NF}\right)$$NF^2 = \frac{256}{NF^2}$$NF^4 = 256$$NF = \sqrt[4]{256} = 4$ см.

Теперь, зная длину высоты $NF$, мы можем найти длины отрезков $MF$ и $KF$:$MF = \frac{4}{NF} = \frac{4}{4} = 1$ см.$KF = \frac{64}{NF} = \frac{64}{4} = 16$ см.

Гипотенуза $MK$ является суммой длин отрезков $MF$ и $KF$:$MK = MF + KF = 1 + 16 = 17$ см.

Ответ: 17 см.