Номер 22.8, страница 206 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.8. Один из углов прямоугольного треугольника равен $15^\circ$. Докажите, что высота треугольника, проведённая к его гипотенузе, в 4 раза меньше гипотенузы.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$. Пусть один из его острых углов, например $\angle A$, равен $15^\circ$. Обозначим гипотенузу $AB$ как $c$.

Проведём высоту $CH$ из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$. Длину этой высоты обозначим как $h$. Нам необходимо доказать, что $h = \frac{c}{4}$.

Проведём также медиану $CM$ из вершины $C$ к гипотенузе $AB$. Точка $M$ является серединой гипотенузы $AB$.

Согласно свойству медианы прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе, её длина равна половине длины гипотенузы. Таким образом:$CM = AM = BM = \frac{1}{2}AB = \frac{c}{2}$.

Рассмотрим треугольник $AMC$. Поскольку $CM = AM$, этот треугольник является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому:$\angle ACM = \angle CAM = \angle A = 15^\circ$.

Теперь рассмотрим угол $\angle CMB$. Этот угол является внешним углом для треугольника $AMC$ при вершине $M$. По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:$\angle CMB = \angle CAM + \angle ACM = 15^\circ + 15^\circ = 30^\circ$.

Рассмотрим треугольник $CMH$. Так как $CH$ — высота, то $\angle CHM = 90^\circ$, и следовательно, треугольник $CMH$ — прямоугольный. В этом треугольнике нам известен угол $\angle CMH = \angle CMB = 30^\circ$. Катет $CH$ (наша высота $h$) лежит напротив этого угла.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. В треугольнике $CMH$ гипотенузой является сторона $CM$. Следовательно, $CH = \frac{1}{2}CM$.

Подставим ранее найденные значения в это равенство:$h = CH$ и $CM = \frac{c}{2}$. Получаем: $h = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{c}{2}\right) = \frac{c}{4}$.

Таким образом, мы доказали, что высота треугольника, проведённая к его гипотенузе, в 4 раза меньше гипотенузы. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что высота, проведённая к гипотенузе, равна четверти гипотенузы ($h = \frac{c}{4}$).