Номер 22.1, страница 206 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Треугольники

22.1. Высота равнобедренного треугольника делит его боковую сторону на отрезки длиной 1 см и 12 см, считая от вершины угла при основании. Найдите основание данного треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $АВС$ с основанием $АВ$ и боковыми сторонами $АС$ и $ВС$, то есть $АС = ВС$. Пусть $АН$ — высота, проведенная из вершины угла при основании $А$ к боковой стороне $ВС$. Точка $Н$ лежит на стороне $ВС$.

Высота $АН$ делит боковую сторону $ВС$ на два отрезка: $ВН$ и $НС$. В условии сказано, что длины этих отрезков равны 1 см и 12 см, "считая от вершины угла при основании". Вершиной угла при основании, лежащей на стороне $ВС$, является точка $В$. Это означает, что мы измеряем отрезки от точки $В$.

Таким образом, возможны два случая:

1. Отрезок, прилегающий к вершине $В$, имеет длину 1 см, а другой — 12 см. То есть $ВН = 1$ см и $НС = 12$ см.

2. Отрезок, прилегающий к вершине $В$, имеет длину 12 см, а другой — 1 см. То есть $ВН = 12$ см и $НС = 1$ см.

Рассмотрим оба случая. В обоих случаях, поскольку основание высоты $Н$ лежит на отрезке $ВС$, длина боковой стороны $ВС$ будет равна сумме длин отрезков $ВН$ и $НС$:
$ВС = 1 \text{ см} + 12 \text{ см} = 13 \text{ см}$.

Так как треугольник $АВС$ равнобедренный, то $АС = ВС = 13$ см.

Случай 1: $ВН = 1$ см и $НС = 12$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $АНС$ (угол $\angle АНС = 90^\circ$, так как $АН$ — высота). По теореме Пифагора имеем: $АС^2 = АН^2 + НС^2$.
Подставим известные значения:
$13^2 = АН^2 + 12^2$
$169 = АН^2 + 144$
$АН^2 = 169 - 144 = 25$
$АН = \sqrt{25} = 5$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $АНВ$ (угол $\angle АНВ = 90^\circ$). По теореме Пифагора имеем: $АВ^2 = АН^2 + ВН^2$.
Подставим известные значения:
$АВ^2 = 5^2 + 1^2$
$АВ^2 = 25 + 1 = 26$
$АВ = \sqrt{26}$ см.

Случай 2: $ВН = 12$ см и $НС = 1$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $АНС$. По теореме Пифагора имеем: $АС^2 = АН^2 + НС^2$.
Подставим известные значения:
$13^2 = АН^2 + 1^2$
$169 = АН^2 + 1$
$АН^2 = 169 - 1 = 168$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $АНВ$. По теореме Пифагора имеем: $АВ^2 = АН^2 + ВН^2$.
Подставим известные значения:
$АВ^2 = 168 + 12^2$
$АВ^2 = 168 + 144 = 312$
$АВ = \sqrt{312} = \sqrt{4 \cdot 78} = 2\sqrt{78}$ см.

Оба случая приводят к корректным геометрическим решениям. Однако, формулировка "делит ... на отрезки длиной 1 см и 12 см, считая от вершины..." в задачах обычно подразумевает, что отрезки перечисляются в порядке их расположения от указанной точки. Таким образом, наиболее вероятным является первый случай, где отрезок, ближайший к вершине $В$ ($ВН$), равен 1 см.
Ответ: $\sqrt{26}$ см.