Номер 21.23, страница 200 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.23. Отрезок $BM$ — медиана треугольника $ABC$. Известно, что $BM = m$, $\angle ABM = \alpha$, $\angle MBC = \beta$. Найдите сторону $AB$.

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $BM$ — медиана, $BM = m$, $\angle ABM = \alpha$, $\angle MBC = \beta$.

Для нахождения стороны $AB$ выполним дополнительное построение. Продлим медиану $BM$ за точку $M$ на ее длину до точки $D$ так, что $BM = MD$. Таким образом, длина отрезка $BD$ составит $BM + MD = m + m = 2m$.

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M$. По построению, $M$ — середина отрезка $BD$. Так как $BM$ — медиана треугольника $ABC$, точка $M$ также является серединой стороны $AC$.

Четырехугольник, диагонали которого пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм.

В параллелограмме противоположные стороны параллельны, поэтому $AD \parallel BC$. Прямая $BD$ является секущей при параллельных прямых $AD$ и $BC$. Следовательно, накрест лежащие углы $\angle ADB$ и $\angle MBC$ равны. Таким образом, $\angle ADB = \beta$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. В этом треугольнике нам известны сторона $BD = 2m$, угол $\angle ABD = \alpha$ и угол $\angle ADB = \beta$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому третий угол треугольника $ABD$ равен:

$\angle BAD = 180^\circ - (\angle ABD + \angle ADB) = 180^\circ - (\alpha + \beta)$.

Применим к треугольнику $ABD$ теорему синусов, которая гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла постоянно для всех сторон:

$\frac{AB}{\sin(\angle ADB)} = \frac{BD}{\sin(\angle BAD)}$

Подставим известные значения в это соотношение:

$\frac{AB}{\sin\beta} = \frac{2m}{\sin(180^\circ - (\alpha + \beta))}$

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, получаем:

$\frac{AB}{\sin\beta} = \frac{2m}{\sin(\alpha + \beta)}$

Отсюда выразим искомую сторону $AB$:

$AB = \frac{2m \sin\beta}{\sin(\alpha + \beta)}$

Ответ: $\frac{2m \sin\beta}{\sin(\alpha + \beta)}$.