Номер 22.4, страница 206 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.4. Найдите площадь треугольника $ABC$, изображённого на рисунке 22.1.

Рис. 22.1

Для того чтобы найти площадь треугольника $ABC$, воспользуемся формулой площади для прямоугольного треугольника, так как по условию угол $C$ прямой ($\angle C = 90^\circ$):

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC$

Из рисунка нам известна длина катета $BC = \sqrt{2}$ см. Нам необходимо найти длину катета $AC$. Катет $AC$ состоит из двух отрезков: $AC = AD + DC$. Найдем длины этих отрезков по отдельности.

1. Нахождение длины отрезка $DC$

Рассмотрим треугольник $BDC$. Углы $\angle ADB$ и $\angle BDC$ являются смежными, так как они вместе образуют развернутый угол на прямой $AC$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

$\angle BDC = 180^\circ - \angle ADB = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$

Треугольник $BDC$ является прямоугольным, так как $\angle BCD = 90^\circ$. Зная два угла в этом треугольнике, можем найти третий угол $\angle CBD$:

$\angle CBD = 180^\circ - \angle BCD - \angle BDC = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$

Поскольку два угла в треугольнике $BDC$ равны ($\angle BDC = \angle CBD = 45^\circ$), он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие против равных углов, равны. Следовательно, $DC = BC$.

Так как $BC = \sqrt{2}$ см, то и $DC = \sqrt{2}$ см.

2. Нахождение длины отрезка $AD$

На рисунке стороны $AD$ и $BD$ треугольника $ABD$ отмечены одинаковыми штрихами, что означает их равенство: $AD = BD$.

Длину стороны $BD$ можно найти из прямоугольного треугольника $BDC$ по теореме Пифагора. $BD$ является гипотенузой в этом треугольнике.

$BD^2 = BC^2 + DC^2$

$BD^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 = 2 + 2 = 4$

$BD = \sqrt{4} = 2$ см.

Поскольку $AD = BD$, то $AD = 2$ см.

3. Вычисление площади треугольника $ABC$

Теперь мы можем найти полную длину катета $AC$:

$AC = AD + DC = 2 + \sqrt{2}$ см.

Подставим найденные значения длин катетов $AC$ и $BC$ в формулу площади:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot (2 + \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}$

Раскроем скобки:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot (2\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2) = \frac{1}{2} \cdot (2\sqrt{2} + 2)$

Вынесем общий множитель 2 за скобки и сократим дробь:

$S_{ABC} = \frac{2(\sqrt{2} + 1)}{2} = \sqrt{2} + 1$ см².

Ответ: $(\sqrt{2} + 1)$ см².