Номер 22.6, страница 206 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.6. Периметр равнобедренного треугольника равен 100 см, а высота, опущенная на основание, — 30 см. Найдите площадь треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник, где $a$ — длина основания, а $b$ — длина боковой стороны. Периметр треугольника $P$ равен 100 см, а высота $h$, опущенная на основание, равна 30 см.
Периметр равнобедренного треугольника вычисляется по формуле: $P = a + 2b$.
Согласно условию, $100 = a + 2b$.
В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, является также и медианой. Она делит основание на два равных отрезка, каждый длиной $\frac{a}{2}$. Эта высота, боковая сторона и половина основания образуют прямоугольный треугольник.
Применим теорему Пифагора для этого прямоугольного треугольника: $b^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2$.
Подставим известное значение высоты $h = 30$ см:
$b^2 = 30^2 + (\frac{a}{2})^2 = 900 + \frac{a^2}{4}$.
Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$:
1) $a + 2b = 100$
2) $b^2 = 900 + \frac{a^2}{4}$
Из первого уравнения выразим $b$ через $a$:
$2b = 100 - a$
$b = \frac{100 - a}{2} = 50 - \frac{a}{2}$
Теперь подставим это выражение для $b$ во второе уравнение:
$(50 - \frac{a}{2})^2 = 900 + \frac{a^2}{4}$
Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата разности:
$50^2 - 2 \cdot 50 \cdot \frac{a}{2} + (\frac{a}{2})^2 = 900 + \frac{a^2}{4}$
$2500 - 50a + \frac{a^2}{4} = 900 + \frac{a^2}{4}$
Сократим слагаемое $\frac{a^2}{4}$ в обеих частях уравнения:
$2500 - 50a = 900$
Решим полученное линейное уравнение:
$50a = 2500 - 900$
$50a = 1600$
$a = \frac{1600}{50} = 32$ см.
Мы нашли длину основания. Теперь можем вычислить площадь треугольника $S$ по формуле: $S = \frac{1}{2}ah$.
$S = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot 30 = 16 \cdot 30 = 480$ см².
Ответ: 480 см².