Номер 22.13, страница 207 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.13. В треугольник $ABC$ вписан ромб $CDEF$ так, как показано на рисунке 22.2. Найдите сторону $BC$ треугольника, если $AC = 15 \text{ см}$, а сторона ромба равна $10 \text{ см}$.

Рис. 22.2

По условию задачи, в треугольник $ABC$ вписан ромб $CDEF$. Это означает, что вершина $C$ у них общая, вершина $D$ лежит на стороне $AC$, вершина $F$ — на стороне $BC$, а вершина $E$ — на стороне $AB$.

Нам даны длины стороны ромба и стороны треугольника $AC$:

$CD = DE = EF = FC = 10$ см.

$AC = 15$ см.

Нужно найти длину стороны $BC$.

По определению ромба, его противоположные стороны параллельны. Следовательно, сторона $EF$ параллельна стороне $CD$.

Так как точка $D$ лежит на стороне $AC$, то сторона ромба $CD$ является частью стороны треугольника $AC$. Таким образом, прямая, содержащая $CD$, совпадает с прямой, содержащей $AC$.

Из этого следует, что сторона ромба $EF$ параллельна стороне треугольника $AC$ ($EF \parallel AC$).

Рассмотрим треугольники $\triangle BEF$ и $\triangle BAC$.

Поскольку $EF \parallel AC$, то эти треугольники подобны по двум углам:

1. $\angle B$ — общий угол.
2. $\angle BFE = \angle BCA$ как соответственные углы при параллельных прямых $EF$ и $AC$ и секущей $BC$.

Из подобия треугольников $\triangle BEF \sim \triangle BAC$ следует пропорциональность их соответственных сторон:

$\frac{BF}{BC} = \frac{EF}{AC}$

Подставим известные значения в эту пропорцию:

• $EF = 10$ см (сторона ромба).
• $AC = 15$ см (дано по условию).
• Сторона $BC$ состоит из двух отрезков: $BF$ и $FC$. То есть, $BC = BF + FC$.
• $FC = 10$ см (сторона ромба).
• Отсюда мы можем выразить $BF$: $BF = BC - FC = BC - 10$.

Подставим выражение для $BF$ и известные длины в пропорцию:

$\frac{BC - 10}{BC} = \frac{10}{15}$

Сократим дробь в правой части:

$\frac{BC - 10}{BC} = \frac{2}{3}$

Теперь решим это уравнение относительно $BC$, используя свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$3 \cdot (BC - 10) = 2 \cdot BC$

$3 \cdot BC - 30 = 2 \cdot BC$

$3 \cdot BC - 2 \cdot BC = 30$

$BC = 30$ см.

Ответ: 30 см.