Номер 22.18, страница 207 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.18. Площадь треугольника $ABC$ равна $18 \text{ см}^2$. На стороне $AB$ отметили точки $K$ и $D$ так, что $AK = KD = DB$, а на стороне $AC$ — точки $F$ и $E$ так, что $AF = FE = EC$. Найдите площадь четырёхугольника $DEFK$.

Площадь искомого четырёхугольника DEFK можно найти как разность площадей треугольников ADE и AKF: $S_{DEFK} = S_{ADE} - S_{AKF}$.

Площадь треугольника выражается формулой $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ — стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними. Площадь треугольника ABC равна $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle BAC) = 18$ см².

Из условия задачи известно, что точки K и D делят сторону AB на три равные части: $AK = KD = DB$. Следовательно, мы можем выразить длины отрезков AK и AD через длину стороны AB:

$AK = \frac{1}{3} AB$

$AD = AK + KD = \frac{1}{3} AB + \frac{1}{3} AB = \frac{2}{3} AB$

Аналогично, точки F и E делят сторону AC на три равные части: $AF = FE = EC$. Выразим длины отрезков AF и AE через длину стороны AC:

$AF = \frac{1}{3} AC$

$AE = AF + FE = \frac{1}{3} AC + \frac{1}{3} AC = \frac{2}{3} AC$

Теперь найдём площади треугольников AKF и ADE. Они имеют общий угол A с треугольником ABC.

Площадь треугольника AKF:

$S_{AKF} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot AF \cdot \sin(\angle BAC) = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{3} AB\right) \cdot \left(\frac{1}{3} AC\right) \cdot \sin(\angle BAC) = \frac{1}{9} \left(\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle BAC)\right) = \frac{1}{9} S_{ABC}$.

Подставив значение площади $S_{ABC}$, получаем:

$S_{AKF} = \frac{1}{9} \cdot 18 = 2$ см².

Площадь треугольника ADE:

$S_{ADE} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AE \cdot \sin(\angle BAC) = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{2}{3} AB\right) \cdot \left(\frac{2}{3} AC\right) \cdot \sin(\angle BAC) = \frac{4}{9} \left(\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle BAC)\right) = \frac{4}{9} S_{ABC}$.

Подставив значение площади $S_{ABC}$, получаем:

$S_{ADE} = \frac{4}{9} \cdot 18 = 8$ см².

Наконец, вычисляем площадь четырёхугольника DEFK:

$S_{DEFK} = S_{ADE} - S_{AKF} = 8 - 2 = 6$ см².

Ответ: 6 см².