Номер 22.22, страница 208 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.22. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен полуразности катетов. Найдите острые углы треугольника.

Пусть $a$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника, $c$ — его гипотенуза, а $r$ — радиус вписанной в него окружности. Для определенности будем считать, что $a \ge b$.

По условию задачи радиус вписанной окружности равен полуразности катетов. Математически это можно записать так:$r = \frac{a - b}{2}$

В то же время, существует общая формула для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, которая связывает его с длинами сторон:$r = \frac{a + b - c}{2}$

Поскольку левые части обоих выражений равны (это радиус $r$), мы можем приравнять их правые части:$\frac{a - b}{2} = \frac{a + b - c}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя, и упростим полученное выражение:$a - b = a + b - c$$-b = b - c$$c = 2b$

Полученное соотношение $c = 2b$ означает, что в данном прямоугольном треугольнике гипотенуза в два раза длиннее одного из катетов.

Известно свойство прямоугольного треугольника: катет, равный половине гипотенузы, лежит напротив угла в $30^\circ$. В нашем случае катет $b$ равен половине гипотенузы $c$.

Пусть $\beta$ — это острый угол, противолежащий катету $b$. Синус этого угла определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе:$\sin(\beta) = \frac{b}{c} = \frac{b}{2b} = \frac{1}{2}$

Для острого угла $\beta$ из уравнения $\sin(\beta) = \frac{1}{2}$ следует, что $\beta = 30^\circ$.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Обозначим второй острый угол как $\alpha$. Тогда:$\alpha + \beta = 90^\circ$$\alpha = 90^\circ - \beta = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$

Следовательно, острые углы данного треугольника равны $30^\circ$ и $60^\circ$.

Ответ: $30^\circ$ и $60^\circ$.