Номер 22.28, страница 208 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.28. Касательная в точке $A$ к окружности, описанной около треугольника $ABC$, пересекает прямую $BC$ в точке $D$, отрезок $AE$ – биссектриса треугольника $ABC$. Докажите, что $AD = DE$.

Для того чтобы доказать, что $AD = DE$, мы докажем, что треугольник $ADE$ является равнобедренным. Для этого достаточно показать, что углы при его основании $AE$ равны, то есть $\angle DAE = \angle DEA$.

1. Рассмотрим угол $\angle DAE$.
Пусть $AD$ — касательная к описанной окружности треугольника $ABC$ в точке $A$. По теореме об угле между касательной и хордой, угол между касательной $AD$ и хордой $AC$ равен вписанному углу, который опирается на эту хорду. Таким образом,$\angle DAC = \angle ABC$.
По условию, отрезок $AE$ — биссектриса угла $BAC$, следовательно,$\angle BAE = \angle CAE = \frac{1}{2}\angle BAC$.
Угол $\angle DAE$ можно выразить как сумму или разность углов в зависимости от расположения точки $D$. Рассмотрим случай, когда точка $C$ лежит между $B$ и $D$. Тогда угол $\angle DAE$ является суммой углов $\angle DAC$ и $\angle CAE$:$\angle DAE = \angle DAC + \angle CAE = \angle ABC + \frac{1}{2}\angle BAC$.

2. Рассмотрим угол $\angle DEA$.
Угол $\angle AEC$ является внешним углом для треугольника $ABE$. По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:$\angle AEC = \angle ABE + \angle BAE$.
Так как $\angle ABE$ — это тот же угол, что и $\angle ABC$, а $\angle BAE = \frac{1}{2}\angle BAC$, то получаем:$\angle AEC = \angle ABC + \frac{1}{2}\angle BAC$.
Поскольку точка $E$ лежит на отрезке $BC$, а точка $D$ — на продолжении этого отрезка, то углы $\angle DEA$ и $\angle AEC$ совпадают. Следовательно,$\angle DEA = \angle ABC + \frac{1}{2}\angle BAC$.

3. Сравнение углов.
Мы получили следующие выражения для углов:$\angle DAE = \angle ABC + \frac{1}{2}\angle BAC$$\angle DEA = \angle ABC + \frac{1}{2}\angle BAC$Отсюда следует, что $\angle DAE = \angle DEA$.

Поскольку в треугольнике $ADE$ два угла равны, он является равнобедренным с основанием $AE$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Следовательно, $AD = DE$.

(Примечание: если точка $B$ лежит между $D$ и $C$, то по теореме об угле между касательной и хордой $\angle DAB = \angle ACB$. Тогда $\angle DAE = \angle DAB + \angle BAE = \angle ACB + \frac{1}{2}\angle BAC$. Внешний угол $\angle AEB$ для треугольника $ACE$ будет равен $\angle ACE + \angle CAE = \angle ACB + \frac{1}{2}\angle BAC$. Так как $\angle DEA = \angle AEB$, равенство $\angle DAE = \angle DEA$ сохраняется, и доказательство остается верным.)

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AD = DE$ доказано.