Номер 22.31, страница 208 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.31. Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, равна 15 см, а высота, проведённая к боковой стороне, – 24 см. Найдите площадь этого треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$.
Пусть $h_a$ — высота, проведённая к основанию $AC$, и $h_b$ — высота, проведённая к боковой стороне $BC$.
По условию, $h_a = 15$ см и $h_b = 24$ см.
Площадь треугольника $S$ можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.
Выразим площадь треугольника двумя способами:
1) Через основание $AC$ и высоту $h_a$: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot 15$
2) Через боковую сторону $BC$ и высоту $h_b$: $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_b = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot 24$
Приравняем правые части этих двух выражений:
$\frac{1}{2} \cdot AC \cdot 15 = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot 24$
$15 \cdot AC = 24 \cdot BC$
Выразим длину основания $AC$ через длину боковой стороны $BC$:
$AC = \frac{24}{15} BC = \frac{8}{5} BC$
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h_a$, половиной основания и боковой стороной. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой, поэтому она делит основание пополам. Катетами этого треугольника будут высота $h_a$ и половина основания $\frac{AC}{2}$, а гипотенузой — боковая сторона $BC$.
По теореме Пифагора:
$BC^2 = h_a^2 + (\frac{AC}{2})^2$
Подставим известные значения и полученное ранее выражение для $AC$:
$BC^2 = 15^2 + (\frac{\frac{8}{5} BC}{2})^2$
$BC^2 = 225 + (\frac{4}{5} BC)^2$
$BC^2 = 225 + \frac{16}{25} BC^2$
Теперь решим это уравнение относительно $BC$:
$BC^2 - \frac{16}{25} BC^2 = 225$
$\frac{25-16}{25} BC^2 = 225$
$\frac{9}{25} BC^2 = 225$
$BC^2 = 225 \cdot \frac{25}{9} = 25 \cdot 25 = 625$
$BC = \sqrt{625} = 25$ см.
Зная длину боковой стороны $BC$, мы можем найти площадь треугольника, используя высоту, проведённую к этой стороне:
$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_b = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 24 = 25 \cdot 12 = 300$ см$^2$.
Ответ: 300 см$^2$.