Номер 22.37, страница 209 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.37. В треугольнике $ABC$ отрезок $BK$ — высота, $BK = 26$ см, отрезок $AM$ — биссектриса, $AB : AC = 6 : 7$. Из точки $M$ опущен перпендикуляр $MD$ на сторону $AC$. Найдите отрезок $MD$.

По условию задачи, отрезок $BK$ является высотой треугольника $ABC$, опущенной на сторону $AC$. Это означает, что $BK \perp AC$. Также из точки $M$ опущен перпендикуляр $MD$ на сторону $AC$, что означает $MD \perp AC$.

Поскольку прямые $BK$ и $MD$ обе перпендикулярны одной и той же прямой $AC$, они параллельны друг другу: $BK \parallel MD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle CMD$ и $\triangle CBK$. В этих треугольниках:
1. $\angle C$ — общий.
2. $\angle CDM = \angle CKB = 90^\circ$ (по определению высоты и перпендикуляра).

Следовательно, $\triangle CMD \sim \triangle CBK$ (по двум углам). Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон: $$ \frac{MD}{BK} = \frac{CM}{CB} $$

Из этой пропорции мы можем выразить искомую длину отрезка $MD$: $$ MD = BK \cdot \frac{CM}{CB} $$

Далее, по условию задачи, $AM$ — биссектриса угла $\angle BAC$. Согласно свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону ($BC$) на отрезки ($BM$ и $CM$), пропорциональные двум другим сторонам треугольника ($AB$ и $AC$): $$ \frac{BM}{CM} = \frac{AB}{AC} $$

Из условия известно, что $AB : AC = 6 : 7$, следовательно: $$ \frac{BM}{CM} = \frac{6}{7} $$

Пусть $BM = 6x$, а $CM = 7x$ для некоторого положительного коэффициента $x$. Тогда длина всей стороны $CB$ равна сумме длин её частей: $$ CB = BM + CM = 6x + 7x = 13x $$

Теперь мы можем найти отношение $\frac{CM}{CB}$: $$ \frac{CM}{CB} = \frac{7x}{13x} = \frac{7}{13} $$

Наконец, подставим известные значения в формулу для $MD$. Нам дано, что $BK = 26$ см. $$ MD = 26 \cdot \frac{7}{13} = \frac{26}{13} \cdot 7 = 2 \cdot 7 = 14 \text{ см} $$

Ответ: 14 см.