Номер 22.35, страница 209 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.35. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ отметили точку $M$ так, что $AM : MB = 4 : 3$. В каком отношении медиана $BK$ треугольника $ABC$ делит отрезок $CM$?

Пусть O — точка пересечения медианы BK и отрезка CM. Требуется найти отношение CO : OM.

Для решения задачи применим метод дополнительного построения. Проведем через точку M прямую, параллельную медиане BK. Пусть эта прямая пересекает сторону AC в точке L. Таким образом, ML || BK.

Рассмотрим треугольник ABK. Так как ML || BK по построению, то по теореме Фалеса (или из подобия треугольников AML и ABK) следует, что стороны пропорциональны: $$ \frac{AL}{AK} = \frac{AM}{AB} $$

Из условия задачи известно, что $AM : MB = 4 : 3$. Если принять длину отрезка AM за $4x$, то длина MB будет равна $3x$. Тогда длина всей стороны AB составит $AM + MB = 4x + 3x = 7x$. Найдем отношение $\frac{AM}{AB}$: $$ \frac{AM}{AB} = \frac{4x}{7x} = \frac{4}{7} $$ Следовательно, мы можем выразить длину отрезка AL через AK: $$ AL = \frac{4}{7}AK $$

Теперь рассмотрим треугольник CML. Отрезок OK является частью медианы BK, а ML параллельна BK по построению. Следовательно, OK || ML. Применим теорему Фалеса к углу ACM, который пересекают параллельные прямые OK и ML: $$ \frac{CO}{OM} = \frac{CK}{KL} $$

Чтобы найти искомое отношение, нам необходимо вычислить отношение $\frac{CK}{KL}$. По определению медианы, точка K является серединой стороны AC, из чего следует, что $AK = KC$. Длину отрезка KL можно выразить через AK: $$ KL = AK - AL = AK - \frac{4}{7}AK = \frac{3}{7}AK $$ Теперь мы можем найти отношение $\frac{CK}{KL}$: $$ \frac{CK}{KL} = \frac{AK}{\frac{3}{7}AK} = \frac{1}{\frac{3}{7}} = \frac{7}{3} $$

Подставляя найденное значение в полученное ранее соотношение, получаем: $$ \frac{CO}{OM} = \frac{7}{3} $$ Это означает, что медиана BK делит отрезок CM в отношении 7 : 3, считая от вершины C.

Ответ: 7 : 3.