Номер 22.39, страница 209 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.39. В треугольнике ABC точка D — основание биссектрисы, проведённой из вершины C, $ \frac{1}{AC} + \frac{1}{BC} = \frac{1}{CD} $. Докажите, что $ \angle ACB = 120^\circ $.

Пусть в треугольнике $ABC$ стороны $AC = b$, $BC = a$, а длина биссектрисы, проведённой из вершины $C$, равна $CD = l_c$. Обозначим угол $\angle ACB$ как $2\gamma$. Поскольку $CD$ является биссектрисой, она делит угол $\angle ACB$ на два равных угла: $\angle ACD = \angle BCD = \gamma$.

Исходное условие задачи $\frac{1}{AC} + \frac{1}{BC} = \frac{1}{CD}$ можно переписать в принятых обозначениях: $\frac{1}{b} + \frac{1}{a} = \frac{1}{l_c}$ Приводя левую часть к общему знаменателю, получаем: $\frac{a+b}{ab} = \frac{1}{l_c}$ Отсюда выразим $l_c$: $l_c = \frac{ab}{a+b}$

Теперь выведем общую формулу для длины биссектрисы угла треугольника, используя метод площадей. Площадь треугольника $ABC$ равна сумме площадей треугольников $ACD$ и $BCD$: $S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ACD} + S_{\triangle BCD}$ Используя формулу площади треугольника $S = \frac{1}{2}xy\sin\alpha$, запишем это равенство: $\frac{1}{2}AC \cdot BC \cdot \sin(\angle ACB) = \frac{1}{2}AC \cdot CD \cdot \sin(\angle ACD) + \frac{1}{2}BC \cdot CD \cdot \sin(\angle BCD)$ $\frac{1}{2}ab\sin(2\gamma) = \frac{1}{2}bl_c\sin(\gamma) + \frac{1}{2}al_c\sin(\gamma)$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin(2\gamma) = 2\sin(\gamma)\cos(\gamma)$ и преобразуем правую часть: $\frac{1}{2}ab(2\sin(\gamma)\cos(\gamma)) = \frac{1}{2}(a+b)l_c\sin(\gamma)$ $ab\sin(\gamma)\cos(\gamma) = \frac{1}{2}(a+b)l_c\sin(\gamma)$ Поскольку $2\gamma$ — это угол треугольника, $0 < 2\gamma < 180^\circ$, следовательно, $0 < \gamma < 90^\circ$ и $\sin(\gamma) \neq 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $\sin(\gamma)$: $ab\cos(\gamma) = \frac{1}{2}(a+b)l_c$ Отсюда получаем общеизвестную формулу для длины биссектрисы: $l_c = \frac{2ab\cos(\gamma)}{a+b}$

Теперь у нас есть два выражения для $l_c$: одно, полученное из условия задачи, и второе — общая формула. Приравняем их: $\frac{ab}{a+b} = \frac{2ab\cos(\gamma)}{a+b}$ Поскольку $a$ и $b$ — длины сторон треугольника, они положительны, поэтому мы можем разделить обе части на ненулевое выражение $\frac{ab}{a+b}$: $1 = 2\cos(\gamma)$ $\cos(\gamma) = \frac{1}{2}$

Так как $0 < \gamma < 90^\circ$, единственное решение этого уравнения в данном интервале — $\gamma = 60^\circ$. Следовательно, искомый угол $\angle ACB$ равен: $\angle ACB = 2\gamma = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что $\angle ACB = 120^\circ$, доказано.