Номер 22.45, страница 209 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.45. Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен $\frac{1}{3}$ одной из его высот. Докажите, что длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию.

Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. Пусть $h_a$ — высота, проведенная к стороне $a$. Обозначим радиус вписанной окружности через $r$, площадь треугольника через $S$, а его полупериметр через $p$.

Известны следующие формулы для площади треугольника:

1. Через радиус вписанной окружности и полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2}$:
$S = p \cdot r$, откуда $r = \frac{S}{p}$.

2. Через сторону и высоту, проведенную к ней:
$S = \frac{1}{2} a h_a$, откуда $h_a = \frac{2S}{a}$.

По условию задачи, радиус вписанной окружности равен одной трети одной из его высот. Без ограничения общности, предположим, что речь идет о высоте $h_a$. Таким образом, мы имеем соотношение:

$r = \frac{1}{3} h_a$

Подставим в это равенство выражения для $r$ и $h_a$, полученные из формул площади:

$\frac{S}{p} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2S}{a}$

Поскольку для любого невырожденного треугольника его площадь $S > 0$, мы можем сократить обе части уравнения на $S$:

$\frac{1}{p} = \frac{2}{3a}$

Из этой пропорции следует, что $3a = 2p$. Теперь подставим в это равенство определение полупериметра $p = \frac{a+b+c}{2}$:

$3a = 2 \cdot \frac{a+b+c}{2}$

$3a = a+b+c$

Вычтем $a$ из обеих частей уравнения, чтобы найти соотношение между сторонами:

$2a = b+c$

Полученное равенство $2a = b+c$ (которое можно переписать как $a = \frac{b+c}{2}$) является определением арифметической прогрессии для трех чисел. Оно означает, что одна из сторон треугольника ($a$) является средним арифметическим двух других сторон ($b$ и $c$). Следовательно, длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Из условия $r = \frac{1}{3}h$ (где $h$ — одна из высот) с использованием формул площади треугольника $S=pr$ и $S=\frac{1}{2}ah_a$ было выведено соотношение $2a = b+c$ (где $a$ — сторона, к которой проведена высота $h_a$), которое означает, что длины сторон треугольника $a, b, c$ образуют арифметическую прогрессию.