Номер 22.47, страница 210 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.47. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания делит один из катетов в отношении $1 : 2$, считая от вершины прямого угла. Расстояние от центра вписанной окружности до вершины прямого угла равно $\sqrt{18}$ см. Найдите стороны треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Пусть $a$ и $b$ - катеты ($BC$ и $AC$ соответственно), $c$ - гипотенуза ($AB$).

Пусть $I$ - центр вписанной окружности, а $r$ - ее радиус. Опустим из центра $I$ перпендикуляры на катеты $AC$ и $BC$. Пусть $L$ и $K$ - точки касания окружности со сторонами $AC$ и $BC$ соответственно. Тогда $IL \perp AC$ и $IK \perp BC$. Четырехугольник $CKIL$ является квадратом, так как его углы при вершинах $C$, $K$, $L$ прямые, а смежные стороны $IK$ и $IL$ равны радиусу $r$.

Расстояние от центра вписанной окружности $I$ до вершины прямого угла $C$ является диагональю квадрата $CKIL$. По условию, это расстояние равно $\sqrt{18}$ см. Длина диагонали квадрата со стороной $r$ вычисляется по формуле $d = r\sqrt{2}$.

Таким образом, имеем уравнение:$IC = r\sqrt{2} = \sqrt{18}$Возведем обе части в квадрат:$(r\sqrt{2})^2 = (\sqrt{18})^2$$2r^2 = 18$$r^2 = 9$$r = 3$ см (радиус является положительной величиной).

По условию, точка касания делит один из катетов в отношении $1:2$, считая от вершины прямого угла. Предположим, что это катет $AC$, а точка касания - $L$. Тогда $CL:LA = 1:2$. Так как $CKIL$ - квадрат со стороной $r$, то $CL = r = 3$ см. Из пропорции находим $LA$:$3:LA = 1:2 \Rightarrow LA = 2 \cdot 3 = 6$ см. Теперь можем найти длину всего катета $b$:$b = AC = CL + LA = 3 + 6 = 9$ см.

Для нахождения длин других сторон воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки: длины отрезков касательных от вершины до точек касания равны. Пусть $M$ - точка касания окружности с гипотенузой $AB$. Тогда $AM = AL = 6$ см. Аналогично, $CK = r = 3$ см. Пусть длина отрезка $BK$ равна $x$. Тогда $BM = BK = x$.

Теперь выразим длины всех сторон треугольника через $x$:

• Катет $a = BC = CK + KB = 3 + x$
• Катет $b = AC = 9$ см
• Гипотенуза $c = AB = AM + MB = 6 + x$

Применим теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:$(3 + x)^2 + 9^2 = (6 + x)^2$Раскроем скобки:$9 + 6x + x^2 + 81 = 36 + 12x + x^2$Приведем подобные слагаемые:$x^2 + 6x + 90 = x^2 + 12x + 36$Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения:$6x + 90 = 12x + 36$$90 - 36 = 12x - 6x$$54 = 6x$$x = \frac{54}{6} = 9$ см.

Теперь вычислим длины сторон треугольника:Катет $a = BC = 3 + x = 3 + 9 = 12$ см. Катет $b = AC = 9$ см. Гипотенуза $c = AB = 6 + x = 6 + 9 = 15$ см.

(Если бы точка касания делила другой катет, $BC$, в отношении $1:2$, то в результате вычислений мы получили бы катеты 12 см и 9 см, что является тем же самым набором длин сторон).

Ответ: стороны треугольника равны 9 см, 12 см и 15 см.