Номер 22.48, страница 210 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.48. Радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен 6 см. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $AOC$, где $O$ — точка пересечения биссектрис треугольника $ABC$, если $\angle ABC = 60^\circ$.

Пусть $R_{ABC}$ — радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, а $R_{AOC}$ — радиус окружности, описанной около треугольника $AOC$. По условию $R_{ABC} = 6$ см, а $\angle ABC = 60^{\circ}$. Точка $O$ является точкой пересечения биссектрис треугольника $ABC$, то есть центром вписанной окружности.

Для нахождения радиуса $R_{AOC}$ воспользуемся следствием из теоремы синусов для треугольника $AOC$:$R_{AOC} = \frac{AC}{2 \sin(\angle AOC)}$

Для этого нам необходимо найти длину стороны $AC$ и величину угла $\angle AOC$.

1. Найдем длину стороны AC.Применим следствие из теоремы синусов к треугольнику $ABC$:$AC = 2 R_{ABC} \sin(\angle ABC)$Подставим известные значения:$AC = 2 \cdot 6 \cdot \sin(60^{\circ}) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

2. Найдем величину угла $\angle AOC$.Поскольку $O$ — точка пересечения биссектрис, то $AO$ и $CO$ являются биссектрисами углов $\angle BAC$ и $\angle BCA$ соответственно. Пусть $\angle BAC = \alpha$ и $\angle BCA = \gamma$. Тогда в треугольнике $AOC$ углы при основании $AC$ будут равны:$\angle OAC = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{\alpha}{2}$$\angle OCA = \frac{\angle BCA}{2} = \frac{\gamma}{2}$

Сумма углов треугольника $ABC$ равна $180^{\circ}$:$\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^{\circ}$$\alpha + 60^{\circ} + \gamma = 180^{\circ}$$\alpha + \gamma = 120^{\circ}$

Теперь рассмотрим сумму углов треугольника $AOC$:$\angle AOC + \angle OAC + \angle OCA = 180^{\circ}$$\angle AOC + \frac{\alpha}{2} + \frac{\gamma}{2} = 180^{\circ}$$\angle AOC + \frac{\alpha + \gamma}{2} = 180^{\circ}$Подставим найденное значение суммы $\alpha + \gamma$:$\angle AOC + \frac{120^{\circ}}{2} = 180^{\circ}$$\angle AOC + 60^{\circ} = 180^{\circ}$$\angle AOC = 120^{\circ}$

3. Найдем радиус $R_{AOC}$.Теперь у нас есть все данные для вычисления радиуса окружности, описанной около треугольника $AOC$:$R_{AOC} = \frac{AC}{2 \sin(\angle AOC)} = \frac{6\sqrt{3}}{2 \sin(120^{\circ})}$Так как $\sin(120^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 60^{\circ}) = \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:$R_{AOC} = \frac{6\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6$ см.

Ответ: 6 см.