Номер 22.52, страница 210 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.52. Высоты остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Прямая, содержащая высоту, проведённую из вершины $C$, во второй раз пересекает описанную окружность треугольника в точке $K$. Докажите, что сторона $AB$ пересекает отрезок $HK$ в его середине.

Пусть $CC_1$ — высота остроугольного треугольника $ABC$, проведенная из вершины $C$ к стороне $AB$. Тогда точка $C_1$ лежит на стороне $AB$. По определению, ортоцентр $H$ является точкой пересечения высот, следовательно, $H$ лежит на отрезке $CC_1$. Прямая, содержащая высоту $CC_1$, пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $K$ (отличной от $C$). Таким образом, точка $C_1$ является точкой пересечения стороны $AB$ и отрезка $HK$. Нам необходимо доказать, что $C_1$ является серединой отрезка $HK$, то есть что $HC_1 = C_1K$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle BC_1H$ и $\triangle BC_1K$. Они имеют общий катет $BC_1$. Углы $\angle BC_1H$ и $\angle BC_1K$ прямые, так как $CC_1$ — высота. Если мы докажем, что их гипотенузы $BH$ и $BK$ равны, то по признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и гипотенузе) $\triangle BC_1H \cong \triangle BC_1K$. Из равенства треугольников будет следовать и равенство катетов $HC_1 = C_1K$.

Докажем, что $BH = BK$. Для этого покажем, что треугольник $HBK$ является равнобедренным, а именно, что углы при его основании $HK$ равны: $\angle BKH = \angle BHK$.

1. Найдем величину угла $\angle BKH$.
Точки $A, B, C, K$ лежат на описанной окружности. Угол $\angle BKC$ (который совпадает с углом $\angle BKH$) является вписанным и опирается на дугу $BC$. Угол $\angle BAC$ также является вписанным и опирается на ту же дугу $BC$. Следовательно, эти углы равны:
$\angle BKH = \angle BKC = \angle BAC = \angle A$.

2. Найдем величину угла $\angle BHK$.
Поскольку треугольник $ABC$ остроугольный, ортоцентр $H$ лежит внутри треугольника на отрезке высоты $CC_1$. Точка $K$ лежит на продолжении высоты за точку $C_1$. Таким образом, точки $C, H, C_1, K$ лежат на одной прямой, и луч $HC$ противоположен лучу $HK$. Это означает, что углы $\angle BHC$ и $\angle BHK$ являются смежными, и их сумма равна $180^\circ$.
$\angle BHK = 180^\circ - \angle BHC$.
Найдем величину угла $\angle BHC$. Пусть $BB_1$ — высота, проведенная из вершины $B$. В треугольнике $BHC$:

• $\angle HBC = \angle B_1BC$. В прямоугольном треугольнике $\triangle BB_1C$, $\angle B_1BC = 90^\circ - \angle C$.
• $\angle HCB = \angle C_1CB$. В прямоугольном треугольнике $\triangle CC_1B$, $\angle C_1CB = 90^\circ - \angle B$.

Сумма углов в треугольнике $BHC$ равна $180^\circ$, поэтому:
$\angle BHC = 180^\circ - \angle HBC - \angle HCB = 180^\circ - (90^\circ - \angle C) - (90^\circ - \angle B) = \angle B + \angle C$.
Из суммы углов треугольника $ABC$ имеем $\angle B + \angle C = 180^\circ - \angle A$.
Следовательно, $\angle BHC = 180^\circ - \angle A$.
Теперь можем найти $\angle BHK$:
$\angle BHK = 180^\circ - \angle BHC = 180^\circ - (180^\circ - \angle A) = \angle A$.

3. Сравнение углов и завершение доказательства.
Мы получили, что $\angle BKH = \angle A$ и $\angle BHK = \angle A$. Значит, $\angle BKH = \angle BHK$.
Поскольку углы при основании $HK$ треугольника $HBK$ равны, этот треугольник является равнобедренным, и его боковые стороны равны: $BH = BK$.
Как мы установили ранее, в прямоугольных треугольниках $\triangle BC_1H$ и $\triangle BC_1K$ катет $BC_1$ является общим, а гипотенузы $BH$ и $BK$ равны. Следовательно, $\triangle BC_1H \cong \triangle BC_1K$.
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих катетов: $HC_1 = C_1K$.
Это означает, что точка $C_1$, являющаяся точкой пересечения стороны $AB$ и отрезка $HK$, делит этот отрезок пополам.

Ответ: Утверждение доказано. Сторона $AB$ пересекает отрезок $HK$ в его середине.