Номер 22.49, страница 210 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.49. На продолжении стороны $AC$ треугольника $ABC$ за точку $C$ отметили точку $D$ так, что $\angle ADB = 30^{\circ}$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABD$, если $\angle ACB = 45^{\circ}$, а радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен $8\sqrt{2}$ см.

Для решения задачи воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру (удвоенному радиусу) описанной около него окружности.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию, радиус описанной около него окружности $R_{ABC} = 8\sqrt{2}$ см, а угол $\angle ACB = 45^\circ$. Применим теорему синусов для стороны $AB$ и противолежащего ей угла $\angle ACB$:

$\frac{AB}{\sin(\angle ACB)} = 2R_{ABC}$

Подставим известные значения, чтобы найти длину стороны $AB$:

$\frac{AB}{\sin(45^\circ)} = 2 \cdot 8\sqrt{2}$

Поскольку $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$\frac{AB}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 16\sqrt{2}$

$AB = 16\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 16 \cdot \frac{2}{2} = 16$ см.

2. Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Нам нужно найти радиус описанной около него окружности ($R_{ABD}$). Мы уже знаем длину стороны $AB = 16$ см. По условию, противолежащий этой стороне угол $\angle ADB = 30^\circ$. Снова применим теорему синусов, но уже для треугольника $ABD$:

$\frac{AB}{\sin(\angle ADB)} = 2R_{ABD}$

Подставим известные значения:

$\frac{16}{\sin(30^\circ)} = 2R_{ABD}$

Поскольку $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$\frac{16}{\frac{1}{2}} = 2R_{ABD}$

$16 \cdot 2 = 2R_{ABD}$

$32 = 2R_{ABD}$

$R_{ABD} = \frac{32}{2} = 16$ см.

Ответ: 16 см.