Номер 22.43, страница 209 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 22.43, страница 209.

Условие.

22.43. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB = BC$) угол при вершине равен $108^{\circ}$. В этом треугольнике проведены биссектрисы $AA_1$ и $BB_1$. Докажите, что $AA_1 = 2BB_1$.

Решение 1.

Решение 3.

Доказательство

1. Найдем углы треугольника ABC.
Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$, так как $AB = BC$. Угол при вершине $\angle B = 108°$. Сумма углов в треугольнике равна $180°$. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: $\angle A = \angle C$. Следовательно, $\angle A = \angle C = \frac{180° - \angle B}{2} = \frac{180° - 108°}{2} = \frac{72°}{2} = 36°$.

2. Найдем углы, образованные биссектрисами.
$AA_1$ — биссектриса угла $A$, поэтому она делит его пополам: $\angle BAA_1 = \angle A_1AC = \frac{\angle A}{2} = \frac{36°}{2} = 18°$.
$BB_1$ — биссектриса угла $B$, поэтому она делит его пополам: $\angle ABB_1 = \angle CBB_1 = \frac{\angle B}{2} = \frac{108°}{2} = 54°$.

3. Применим теорему синусов для выражения длин биссектрис.
Рассмотрим треугольник $ABA_1$. По теореме синусов: $\frac{AA_1}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle AA_1B)}$.
Найдем угол $\angle AA_1B$. Сумма углов в $\triangle ABA_1$ равна $180°$. $\angle AA_1B = 180° - \angle B - \angle BAA_1 = 180° - 108° - 18° = 54°$.
Подставим значения углов в формулу: $\frac{AA_1}{\sin(108°)} = \frac{AB}{\sin(54°)}$. Отсюда выразим длину $AA_1$: $AA_1 = AB \cdot \frac{\sin(108°)}{\sin(54°)}$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABB_1$. По теореме синусов: $\frac{BB_1}{\sin(\angle A)} = \frac{AB}{\sin(\angle AB_1B)}$.
Найдем угол $\angle AB_1B$. Сумма углов в $\triangle ABB_1$ равна $180°$. $\angle AB_1B = 180° - \angle A - \angle ABB_1 = 180° - 36° - 54° = 90°$.
Подставим значения углов в формулу: $\frac{BB_1}{\sin(36°)} = \frac{AB}{\sin(90°)}$. Так как $\sin(90°) = 1$, получаем: $BB_1 = AB \cdot \sin(36°)$.

4. Докажем требуемое равенство.
Нам нужно доказать, что $AA_1 = 2BB_1$. Подставим полученные выражения для $AA_1$ и $BB_1$: $AB \cdot \frac{\sin(108°)}{\sin(54°)} = 2 \cdot (AB \cdot \sin(36°))$.
Сократим $AB$ (так как это длина стороны, $AB \neq 0$): $\frac{\sin(108°)}{\sin(54°)} = 2 \sin(36°)$.
Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$. Заметим, что $108° = 2 \cdot 54°$. Тогда $\sin(108°) = 2\sin(54°)\cos(54°)$. Подставим это в левую часть равенства: $\frac{2\sin(54°)\cos(54°)}{\sin(54°)} = 2\cos(54°)$.
Теперь наше равенство выглядит так: $2\cos(54°) = 2\sin(36°)$.
Сократив на 2, получаем: $\cos(54°) = \sin(36°)$.
Это равенство является верным, так как по формуле приведения $\sin(\alpha) = \cos(90° - \alpha)$. Действительно, $\sin(36°) = \cos(90° - 36°) = \cos(54°)$.
Так как мы пришли к верному тождеству, исходное равенство $AA_1 = 2BB_1$ доказано.

Ответ: Равенство $AA_1 = 2BB_1$ доказано.