Страница 209 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.34. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отметили точку $M$ так, что $BM : MC = 3 : 10$. В каком отношении отрезок $AM$ делит медиану $BK$ треугольника $ABC$?

Пусть в треугольнике $ABC$ проведены отрезок $AM$ и медиана $BK$, которые пересекаются в точке $O$. Нам дано, что точка $M$ делит сторону $BC$ в отношении $BM : MC = 3 : 10$, а точка $K$ является серединой стороны $AC$. Требуется найти отношение $BO : OK$.

Для решения задачи применим метод подобных треугольников, для чего выполним дополнительное построение.

1. Проведем через точку $K$ прямую, параллельную стороне $BC$. Пусть эта прямая пересекает отрезок $AM$ в точке $P$. Таким образом, по построению $KP \parallel BC$.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle APK$ и $\triangle AMC$. В этих треугольниках:

• $\angle MAC$ — общий.
• $\angle AKP = \angle ACM$ (как соответственные углы при параллельных прямых $KP$ и $MC$ и секущей $AC$).

Следовательно, треугольники $\triangle APK$ и $\triangle AMC$ подобны по двум углам. Из подобия следует пропорциональность их сторон:

$\frac{AK}{AC} = \frac{KP}{MC}$

Поскольку $BK$ — медиана, точка $K$ является серединой стороны $AC$. Это означает, что $AC = 2AK$, откуда $\frac{AK}{AC} = \frac{1}{2}$.

Подставив это в пропорцию, получаем:

$\frac{KP}{MC} = \frac{1}{2} \implies KP = \frac{1}{2}MC$

3. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle BMO$ и $\triangle KPO$. В этих треугольниках:

• $\angle BOM = \angle KOP$ (как вертикальные углы).
• $\angle MBO = \angle PKO$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BM$ и $KP$ и секущей $BK$).

Следовательно, треугольники $\triangle BMO$ и $\triangle KPO$ подобны по двум углам. Из их подобия следует:

$\frac{BO}{OK} = \frac{BM}{KP}$

4. Из условия задачи известно, что $BM : MC = 3 : 10$. Обозначим длины отрезков через коэффициент пропорциональности $x$: пусть $BM = 3x$, тогда $MC = 10x$.

Из пункта 2 мы нашли, что $KP = \frac{1}{2}MC$. Подставим значение $MC$:

$KP = \frac{1}{2}(10x) = 5x$

5. Наконец, подставим найденные выражения для $BM$ и $KP$ в пропорцию из пункта 3:

$\frac{BO}{OK} = \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}$

Таким образом, отрезок $AM$ делит медиану $BK$ в отношении $3 : 5$, считая от вершины $B$.

Ответ: $3:5$.

22.35. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ отметили точку $M$ так, что $AM : MB = 4 : 3$. В каком отношении медиана $BK$ треугольника $ABC$ делит отрезок $CM$?

Пусть O — точка пересечения медианы BK и отрезка CM. Требуется найти отношение CO : OM.

Для решения задачи применим метод дополнительного построения. Проведем через точку M прямую, параллельную медиане BK. Пусть эта прямая пересекает сторону AC в точке L. Таким образом, ML || BK.

Рассмотрим треугольник ABK. Так как ML || BK по построению, то по теореме Фалеса (или из подобия треугольников AML и ABK) следует, что стороны пропорциональны: $$ \frac{AL}{AK} = \frac{AM}{AB} $$

Из условия задачи известно, что $AM : MB = 4 : 3$. Если принять длину отрезка AM за $4x$, то длина MB будет равна $3x$. Тогда длина всей стороны AB составит $AM + MB = 4x + 3x = 7x$. Найдем отношение $\frac{AM}{AB}$: $$ \frac{AM}{AB} = \frac{4x}{7x} = \frac{4}{7} $$ Следовательно, мы можем выразить длину отрезка AL через AK: $$ AL = \frac{4}{7}AK $$

Теперь рассмотрим треугольник CML. Отрезок OK является частью медианы BK, а ML параллельна BK по построению. Следовательно, OK || ML. Применим теорему Фалеса к углу ACM, который пересекают параллельные прямые OK и ML: $$ \frac{CO}{OM} = \frac{CK}{KL} $$

Чтобы найти искомое отношение, нам необходимо вычислить отношение $\frac{CK}{KL}$. По определению медианы, точка K является серединой стороны AC, из чего следует, что $AK = KC$. Длину отрезка KL можно выразить через AK: $$ KL = AK - AL = AK - \frac{4}{7}AK = \frac{3}{7}AK $$ Теперь мы можем найти отношение $\frac{CK}{KL}$: $$ \frac{CK}{KL} = \frac{AK}{\frac{3}{7}AK} = \frac{1}{\frac{3}{7}} = \frac{7}{3} $$

Подставляя найденное значение в полученное ранее соотношение, получаем: $$ \frac{CO}{OM} = \frac{7}{3} $$ Это означает, что медиана BK делит отрезок CM в отношении 7 : 3, считая от вершины C.

Ответ: 7 : 3.

22.36. Отрезок $BD$ — биссектриса треугольника $ABC$, $AB = 24$ см, $BC = 20$ см, отрезок $AD$ на $3$ см больше отрезка $CD$. Найдите сторону $AC$.

Воспользуемся свойством биссектрисы треугольника, которое гласит, что биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника. Для треугольника $ABC$ и биссектрисы $BD$ это свойство записывается в виде пропорции:

$ \frac{AD}{CD} = \frac{AB}{BC} $

По условию задачи нам дано:

• $AB = 24$ см
• $BC = 20$ см
• Отрезок $AD$ на 3 см больше отрезка $CD$.

Пусть длина отрезка $CD$ равна $x$ см. Тогда, согласно условию, длина отрезка $AD$ будет равна $(x + 3)$ см.

Подставим известные значения и выражения в нашу пропорцию:

$ \frac{x+3}{x} = \frac{24}{20} $

Сначала упростим дробь в правой части уравнения, сократив ее на 4:

$ \frac{24}{20} = \frac{6}{5} $

Теперь наше уравнение выглядит так:

$ \frac{x+3}{x} = \frac{6}{5} $

Решим это уравнение, используя метод перекрестного умножения:

$ 5(x+3) = 6x $

$ 5x + 15 = 6x $

$ 6x - 5x = 15 $

$ x = 15 $

Мы нашли, что длина отрезка $CD = 15$ см.

Теперь найдем длину отрезка $AD$:

$ AD = x + 3 = 15 + 3 = 18 $ см.

Сторона $AC$ состоит из двух отрезков: $AD$ и $CD$. Чтобы найти ее длину, сложим длины этих отрезков:

$ AC = AD + CD = 18 + 15 = 33 $ см.

Ответ: 33 см.

22.37. В треугольнике $ABC$ отрезок $BK$ — высота, $BK = 26$ см, отрезок $AM$ — биссектриса, $AB : AC = 6 : 7$. Из точки $M$ опущен перпендикуляр $MD$ на сторону $AC$. Найдите отрезок $MD$.

По условию задачи, отрезок $BK$ является высотой треугольника $ABC$, опущенной на сторону $AC$. Это означает, что $BK \perp AC$. Также из точки $M$ опущен перпендикуляр $MD$ на сторону $AC$, что означает $MD \perp AC$.

Поскольку прямые $BK$ и $MD$ обе перпендикулярны одной и той же прямой $AC$, они параллельны друг другу: $BK \parallel MD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle CMD$ и $\triangle CBK$. В этих треугольниках:
1. $\angle C$ — общий.
2. $\angle CDM = \angle CKB = 90^\circ$ (по определению высоты и перпендикуляра).

Следовательно, $\triangle CMD \sim \triangle CBK$ (по двум углам). Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон: $$ \frac{MD}{BK} = \frac{CM}{CB} $$

Из этой пропорции мы можем выразить искомую длину отрезка $MD$: $$ MD = BK \cdot \frac{CM}{CB} $$

Далее, по условию задачи, $AM$ — биссектриса угла $\angle BAC$. Согласно свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону ($BC$) на отрезки ($BM$ и $CM$), пропорциональные двум другим сторонам треугольника ($AB$ и $AC$): $$ \frac{BM}{CM} = \frac{AB}{AC} $$

Из условия известно, что $AB : AC = 6 : 7$, следовательно: $$ \frac{BM}{CM} = \frac{6}{7} $$

Пусть $BM = 6x$, а $CM = 7x$ для некоторого положительного коэффициента $x$. Тогда длина всей стороны $CB$ равна сумме длин её частей: $$ CB = BM + CM = 6x + 7x = 13x $$

Теперь мы можем найти отношение $\frac{CM}{CB}$: $$ \frac{CM}{CB} = \frac{7x}{13x} = \frac{7}{13} $$

Наконец, подставим известные значения в формулу для $MD$. Нам дано, что $BK = 26$ см. $$ MD = 26 \cdot \frac{7}{13} = \frac{26}{13} \cdot 7 = 2 \cdot 7 = 14 \text{ см} $$

Ответ: 14 см.

22.38. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB = BC$), равен 12 см, а расстояние от центра этой окружности до вершины $B$ — 20 см. Найдите периметр данного треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ ($AB=BC$). Пусть $O$ — центр вписанной окружности, а $r$ — её радиус. По условию, $r = 12$ см, а расстояние от центра $O$ до вершины $B$ равно $BO = 20$ см.

Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении его биссектрис. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также высотой и медианой. Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. Точка $O$ лежит на отрезке $BH$. Точка касания вписанной окружности с основанием $AC$ — это точка $H$. Следовательно, отрезок $OH$ является радиусом, перпендикулярным к основанию $AC$, и $OH = r = 12$ см.

Длина высоты $BH$ равна сумме длин отрезков $BO$ и $OH$ (так как точка $O$ лежит между $B$ и $H$):
$BH = BO + OH = 20 + 12 = 32$ см.

Пусть $K$ — точка касания вписанной окружности со стороной $BC$. Тогда радиус $OK$ перпендикулярен стороне $BC$ ($OK \perp BC$). Рассмотрим прямоугольный треугольник $BOK$ (угол $\angle BKO = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем катет $BK$:
$BK^2 = BO^2 - OK^2$
$BK^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256$
$BK = \sqrt{256} = 16$ см.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $BOK$ и $BHC$. У них общий острый угол при вершине $B$. Следовательно, эти треугольники подобны по двум углам ($\triangle BOK \sim \triangle BHC$). Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:
$\frac{BK}{BH} = \frac{OK}{HC} = \frac{BO}{BC}$

Используя эту пропорцию, найдем длину половины основания $HC$ и длину боковой стороны $BC$.
Из соотношения $\frac{BK}{BH} = \frac{OK}{HC}$ находим $HC$:
$\frac{16}{32} = \frac{12}{HC} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{12}{HC} \Rightarrow HC = 12 \cdot 2 = 24$ см.
Поскольку высота $BH$ является и медианой, основание $AC = 2 \cdot HC = 2 \cdot 24 = 48$ см.

Из соотношения $\frac{BK}{BH} = \frac{BO}{BC}$ находим $BC$:
$\frac{16}{32} = \frac{20}{BC} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{20}{BC} \Rightarrow BC = 20 \cdot 2 = 40$ см.

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то $AB = BC = 40$ см.

Периметр треугольника $ABC$ равен сумме длин всех его сторон:
$P_{ABC} = AB + BC + AC = 40 + 40 + 48 = 128$ см.

Ответ: 128 см.

22.39. В треугольнике ABC точка D — основание биссектрисы, проведённой из вершины C, $ \frac{1}{AC} + \frac{1}{BC} = \frac{1}{CD} $. Докажите, что $ \angle ACB = 120^\circ $.

Пусть в треугольнике $ABC$ стороны $AC = b$, $BC = a$, а длина биссектрисы, проведённой из вершины $C$, равна $CD = l_c$. Обозначим угол $\angle ACB$ как $2\gamma$. Поскольку $CD$ является биссектрисой, она делит угол $\angle ACB$ на два равных угла: $\angle ACD = \angle BCD = \gamma$.

Исходное условие задачи $\frac{1}{AC} + \frac{1}{BC} = \frac{1}{CD}$ можно переписать в принятых обозначениях: $\frac{1}{b} + \frac{1}{a} = \frac{1}{l_c}$ Приводя левую часть к общему знаменателю, получаем: $\frac{a+b}{ab} = \frac{1}{l_c}$ Отсюда выразим $l_c$: $l_c = \frac{ab}{a+b}$

Теперь выведем общую формулу для длины биссектрисы угла треугольника, используя метод площадей. Площадь треугольника $ABC$ равна сумме площадей треугольников $ACD$ и $BCD$: $S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ACD} + S_{\triangle BCD}$ Используя формулу площади треугольника $S = \frac{1}{2}xy\sin\alpha$, запишем это равенство: $\frac{1}{2}AC \cdot BC \cdot \sin(\angle ACB) = \frac{1}{2}AC \cdot CD \cdot \sin(\angle ACD) + \frac{1}{2}BC \cdot CD \cdot \sin(\angle BCD)$ $\frac{1}{2}ab\sin(2\gamma) = \frac{1}{2}bl_c\sin(\gamma) + \frac{1}{2}al_c\sin(\gamma)$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin(2\gamma) = 2\sin(\gamma)\cos(\gamma)$ и преобразуем правую часть: $\frac{1}{2}ab(2\sin(\gamma)\cos(\gamma)) = \frac{1}{2}(a+b)l_c\sin(\gamma)$ $ab\sin(\gamma)\cos(\gamma) = \frac{1}{2}(a+b)l_c\sin(\gamma)$ Поскольку $2\gamma$ — это угол треугольника, $0 < 2\gamma < 180^\circ$, следовательно, $0 < \gamma < 90^\circ$ и $\sin(\gamma) \neq 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $\sin(\gamma)$: $ab\cos(\gamma) = \frac{1}{2}(a+b)l_c$ Отсюда получаем общеизвестную формулу для длины биссектрисы: $l_c = \frac{2ab\cos(\gamma)}{a+b}$

Теперь у нас есть два выражения для $l_c$: одно, полученное из условия задачи, и второе — общая формула. Приравняем их: $\frac{ab}{a+b} = \frac{2ab\cos(\gamma)}{a+b}$ Поскольку $a$ и $b$ — длины сторон треугольника, они положительны, поэтому мы можем разделить обе части на ненулевое выражение $\frac{ab}{a+b}$: $1 = 2\cos(\gamma)$ $\cos(\gamma) = \frac{1}{2}$

Так как $0 < \gamma < 90^\circ$, единственное решение этого уравнения в данном интервале — $\gamma = 60^\circ$. Следовательно, искомый угол $\angle ACB$ равен: $\angle ACB = 2\gamma = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что $\angle ACB = 120^\circ$, доказано.

22.40. Боковая сторона равнобедренного треугольника точкой касания вписанной окружности делится в отношении 8 : 9, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите площадь треугольника, если радиус вписанной окружности равен 16 см.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$. Пусть вписанная окружность касается сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $M$, $N$ и $K$ соответственно. Радиус вписанной окружности $r = 16$ см.

По условию, точка касания $M$ делит боковую сторону $AB$ в отношении $8:9$, считая от вершины угла при основании, то есть от вершины $A$. Следовательно, $AM : MB = 8 : 9$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда $AM = 8x$ и $MB = 9x$.

Длина боковой стороны треугольника равна $AB = AM + MB = 8x + 9x = 17x$. Так как треугольник равнобедренный, $BC = AB = 17x$.

По свойству отрезков касательных, проведенных из одной вершины к окружности, имеем:

• $AK = AM = 8x$
• $BN = BM = 9x$
• $CK = CN$

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, высота $BK$, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Точка $K$ — середина основания $AC$. Поэтому $AK = KC$.

Отсюда следует, что $KC = AK = 8x$.

Тогда длина основания $AC = AK + KC = 8x + 8x = 16x$.

Теперь мы можем найти площадь треугольника ($S$) двумя способами.

Способ 1: Через полупериметр и радиус вписанной окружности.

Формула площади: $S = p \cdot r$, где $p$ — полупериметр, а $r$ — радиус вписанной окружности.

Периметр треугольника $P = AB + BC + AC = 17x + 17x + 16x = 50x$.

Полупериметр $p = \frac{P}{2} = \frac{50x}{2} = 25x$.

Подставляем известные значения $p$ и $r=16$:
$S = 25x \cdot 16 = 400x$.

Способ 2: Через основание и высоту.

Формула площади: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — основание, $h$ — высота.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABK$ (где $BK$ — высота к основанию $AC$).

Гипотенуза $AB = 17x$, катет $AK = 8x$.

По теореме Пифагора найдем высоту $h = BK$:
$h^2 = AB^2 - AK^2 = (17x)^2 - (8x)^2 = 289x^2 - 64x^2 = 225x^2$.
$h = \sqrt{225x^2} = 15x$.

Теперь найдем площадь, используя основание $AC = 16x$ и высоту $h = 15x$:
$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BK = \frac{1}{2} \cdot 16x \cdot 15x = 8x \cdot 15x = 120x^2$.

Нахождение $x$ и вычисление площади.

Приравняем два выражения для площади, чтобы найти $x$:

$400x = 120x^2$.

Так как $x$ не может быть равно нулю (иначе стороны треугольника были бы нулевой длины), мы можем разделить обе части уравнения на $x$:

$400 = 120x$.

$x = \frac{400}{120} = \frac{40}{12} = \frac{10}{3}$.

Теперь подставим значение $x$ в любую из формул для площади. Воспользуемся первой:

$S = 400x = 400 \cdot \frac{10}{3} = \frac{4000}{3}$ см$^2$.

Площадь треугольника равна $1333 \frac{1}{3}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{4000}{3}$ см$^2$ или $1333 \frac{1}{3}$ см$^2$.

22.41. На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $M$. Окружности, вписанные в треугольники $ABM$ и $MBC$, касаются. Докажите, что $AB + MC = AM + BC$.

Пусть $\omega_1$ и $\omega_2$ — окружности, вписанные в треугольники $ABM$ и $MBC$ соответственно. Пусть $O_1$ и $r_1$ — центр и радиус окружности $\omega_1$, а $O_2$ и $r_2$ — центр и радиус окружности $\omega_2$.

Треугольники $ABM$ и $MBC$ имеют общую сторону $BM$. Так как точка $M$ лежит на отрезке $AC$, вершины $A$ и $C$ находятся по разные стороны от прямой $BM$. Следовательно, вписанные в них окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ также лежат по разные стороны от прямой $BM$.

По условию задачи, окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ касаются. Это означает, что расстояние между их центрами равно сумме их радиусов: $O_1O_2 = r_1 + r_2$.

Пусть $N_1$ и $N_2$ — точки касания окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$ со стороной $BM$ соответственно. По определению вписанной окружности, $O_1N_1 \perp BM$ и $O_2N_2 \perp BM$, причём $O_1N_1 = r_1$ и $O_2N_2 = r_2$.

Поскольку центры $O_1$ и $O_2$ лежат по разные стороны от прямой $BM$, расстояние между ними можно найти с помощью теоремы Пифагора. Расстояние $O_1O_2$ является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого равны расстоянию $N_1N_2$ между точками касания и сумме радиусов $r_1 + r_2$. Таким образом, выполняется равенство:$O_1O_2^2 = N_1N_2^2 + (r_1 + r_2)^2$.

Подставим в это равенство условие касания окружностей $O_1O_2 = r_1 + r_2$:$(r_1 + r_2)^2 = N_1N_2^2 + (r_1 + r_2)^2$.

Из этого уравнения следует, что $N_1N_2^2 = 0$, а значит, $N_1N_2 = 0$. Это означает, что точки касания $N_1$ и $N_2$ совпадают. Обозначим эту общую точку касания буквой $N$.

Воспользуемся свойством отрезков касательных, проведенных из вершины треугольника к вписанной окружности: расстояние от вершины до точки касания равно полупериметру треугольника минус длина противолежащей стороны.

Для треугольника $ABM$ его полупериметр $p_{ABM} = \frac{AB + BM + AM}{2}$. Расстояние от вершины $B$ до точки касания $N$ на стороне $BM$ равно:$BN = p_{ABM} - AM = \frac{AB + BM + AM}{2} - AM = \frac{AB + BM - AM}{2}$.

Для треугольника $MBC$ его полупериметр $p_{MBC} = \frac{BC + BM + MC}{2}$. Расстояние от вершины $B$ до точки касания $N$ на стороне $BM$ равно:$BN = p_{MBC} - MC = \frac{BC + BM + MC}{2} - MC = \frac{BC + BM - MC}{2}$.

Так как оба выражения определяют длину одного и того же отрезка $BN$, мы можем их приравнять:$\frac{AB + BM - AM}{2} = \frac{BC + BM - MC}{2}$.

Умножив обе части равенства на 2 и вычтя $BM$ из обеих частей, получим:$AB - AM = BC - MC$.

Перегруппировав слагаемые, приходим к доказываемому равенству:$AB + MC = AM + BC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

22.42. Стороны треугольника равны 12 см, 15 см и 18 см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины его наибольшего угла.

Пусть стороны треугольника равны $a = 12$ см, $b = 15$ см и $c = 18$ см. Наибольший угол в треугольнике лежит напротив наибольшей стороны. В данном случае это угол, противолежащий стороне $c=18$ см. Этот угол образован сторонами, длины которых равны 12 см и 15 см.

Обозначим искомую биссектрису как $l$. Эта биссектриса делит сторону $c$ на два отрезка, $c_1$ и $c_2$, так что $c_1 + c_2 = 18$.

Согласно свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. В нашем случае прилежащие стороны — это те, что образуют наибольший угол, то есть стороны длиной 12 см и 15 см. Запишем пропорцию:
$\frac{c_1}{12} = \frac{c_2}{15}$

Мы получили систему из двух уравнений:
1) $c_1 + c_2 = 18$
2) $\frac{c_1}{12} = \frac{c_2}{15}$

Упростим второе уравнение, используя основное свойство пропорции:
$15c_1 = 12c_2$
Разделим обе части на 3:
$5c_1 = 4c_2$

Теперь решим систему. Из первого уравнения выразим $c_2$:
$c_2 = 18 - c_1$
Подставим это выражение в упрощенное второе уравнение:
$5c_1 = 4(18 - c_1)$
$5c_1 = 72 - 4c_1$
$9c_1 = 72$
$c_1 = 8$ см.

Найдем длину второго отрезка:
$c_2 = 18 - c_1 = 18 - 8 = 10$ см.

Длина биссектрисы треугольника вычисляется по формуле:
$l^2 = a \cdot b - c_1 \cdot c_2$, где $a$ и $b$ — стороны, между которыми проведена биссектриса, а $c_1$ и $c_2$ — отрезки, на которые она делит третью сторону.

Подставим все известные значения в формулу:
$l^2 = 12 \cdot 15 - 8 \cdot 10$
$l^2 = 180 - 80$
$l^2 = 100$
$l = \sqrt{100} = 10$ см.

Ответ: 10 см.

22.43. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB = BC$) угол при вершине равен $108^{\circ}$. В этом треугольнике проведены биссектрисы $AA_1$ и $BB_1$. Докажите, что $AA_1 = 2BB_1$.

Доказательство

1. Найдем углы треугольника ABC.
Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$, так как $AB = BC$. Угол при вершине $\angle B = 108°$. Сумма углов в треугольнике равна $180°$. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: $\angle A = \angle C$. Следовательно, $\angle A = \angle C = \frac{180° - \angle B}{2} = \frac{180° - 108°}{2} = \frac{72°}{2} = 36°$.

2. Найдем углы, образованные биссектрисами.
$AA_1$ — биссектриса угла $A$, поэтому она делит его пополам: $\angle BAA_1 = \angle A_1AC = \frac{\angle A}{2} = \frac{36°}{2} = 18°$.
$BB_1$ — биссектриса угла $B$, поэтому она делит его пополам: $\angle ABB_1 = \angle CBB_1 = \frac{\angle B}{2} = \frac{108°}{2} = 54°$.

3. Применим теорему синусов для выражения длин биссектрис.
Рассмотрим треугольник $ABA_1$. По теореме синусов: $\frac{AA_1}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle AA_1B)}$.
Найдем угол $\angle AA_1B$. Сумма углов в $\triangle ABA_1$ равна $180°$. $\angle AA_1B = 180° - \angle B - \angle BAA_1 = 180° - 108° - 18° = 54°$.
Подставим значения углов в формулу: $\frac{AA_1}{\sin(108°)} = \frac{AB}{\sin(54°)}$. Отсюда выразим длину $AA_1$: $AA_1 = AB \cdot \frac{\sin(108°)}{\sin(54°)}$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABB_1$. По теореме синусов: $\frac{BB_1}{\sin(\angle A)} = \frac{AB}{\sin(\angle AB_1B)}$.
Найдем угол $\angle AB_1B$. Сумма углов в $\triangle ABB_1$ равна $180°$. $\angle AB_1B = 180° - \angle A - \angle ABB_1 = 180° - 36° - 54° = 90°$.
Подставим значения углов в формулу: $\frac{BB_1}{\sin(36°)} = \frac{AB}{\sin(90°)}$. Так как $\sin(90°) = 1$, получаем: $BB_1 = AB \cdot \sin(36°)$.

4. Докажем требуемое равенство.
Нам нужно доказать, что $AA_1 = 2BB_1$. Подставим полученные выражения для $AA_1$ и $BB_1$: $AB \cdot \frac{\sin(108°)}{\sin(54°)} = 2 \cdot (AB \cdot \sin(36°))$.
Сократим $AB$ (так как это длина стороны, $AB \neq 0$): $\frac{\sin(108°)}{\sin(54°)} = 2 \sin(36°)$.
Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$. Заметим, что $108° = 2 \cdot 54°$. Тогда $\sin(108°) = 2\sin(54°)\cos(54°)$. Подставим это в левую часть равенства: $\frac{2\sin(54°)\cos(54°)}{\sin(54°)} = 2\cos(54°)$.
Теперь наше равенство выглядит так: $2\cos(54°) = 2\sin(36°)$.
Сократив на 2, получаем: $\cos(54°) = \sin(36°)$.
Это равенство является верным, так как по формуле приведения $\sin(\alpha) = \cos(90° - \alpha)$. Действительно, $\sin(36°) = \cos(90° - 36°) = \cos(54°)$.
Так как мы пришли к верному тождеству, исходное равенство $AA_1 = 2BB_1$ доказано.

Ответ: Равенство $AA_1 = 2BB_1$ доказано.

22.44. Одна из сторон треугольника равна 25 см, а другая сторона делится точкой касания вписанной окружности на отрезки длиной 22 см и 8 см, считая от конца первой стороны. Найдите радиус вписанной окружности.

Решение

Пусть дан треугольник $ABC$. Обозначим длины его сторон как $a, b, c$. По условию, одна из сторон равна 25 см. Пусть это будет сторона $c = AB = 25$ см.

Другая сторона, скажем $b = AC$, делится точкой касания вписанной окружности на отрезки длиной 22 см и 8 см, считая от конца первой стороны (то есть от общей вершины A). Таким образом, сторона $b$ состоит из двух отрезков, которые мы обозначим как $x = 22$ см и $y = 8$ см. Длина стороны $b$ равна: $b = AC = 22 + 8 = 30$ см.

Воспользуемся свойством касательных к окружности, проведенных из одной вершины: длины отрезков касательных от вершины до точек касания равны. Пусть $K, L, M$ — точки касания вписанной окружности со сторонами $BC, AC, AB$ соответственно. Тогда: 1. Из вершины A: $AM = AL = 22$ см. 2. Из вершины C: $CK = CL = 8$ см.

Теперь найдем отрезки, на которые делится третья сторона $a = BC$. На стороне $c = AB$ отрезок $MB$ равен: $MB = AB - AM = 25 - 22 = 3$ см. По свойству касательных из вершины B: $BK = MB = 3$ см.

Теперь мы можем найти длину третьей стороны треугольника $a = BC$: $a = BC = BK + KC = 3 + 8 = 11$ см.

Итак, мы знаем длины всех трех сторон треугольника: $a = 11$ см, $b = 30$ см, $c = 25$ см. Радиус вписанной окружности $r$ можно найти по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

1. Найдем полупериметр $p$: $p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{11+30+25}{2} = \frac{66}{2} = 33$ см.

2. Найдем площадь треугольника $S$ по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ $S = \sqrt{33(33-11)(33-30)(33-25)} = \sqrt{33 \cdot 22 \cdot 3 \cdot 8}$ $S = \sqrt{(3 \cdot 11) \cdot (2 \cdot 11) \cdot 3 \cdot 8} = \sqrt{3^2 \cdot 11^2 \cdot 16} = 3 \cdot 11 \cdot 4 = 132$ см².

3. Найдем радиус вписанной окружности $r$: $r = \frac{S}{p} = \frac{132}{33} = 4$ см.

Ответ: 4 см.

22.45. Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен $\frac{1}{3}$ одной из его высот. Докажите, что длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию.

Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. Пусть $h_a$ — высота, проведенная к стороне $a$. Обозначим радиус вписанной окружности через $r$, площадь треугольника через $S$, а его полупериметр через $p$.

Известны следующие формулы для площади треугольника:

1. Через радиус вписанной окружности и полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2}$:
$S = p \cdot r$, откуда $r = \frac{S}{p}$.

2. Через сторону и высоту, проведенную к ней:
$S = \frac{1}{2} a h_a$, откуда $h_a = \frac{2S}{a}$.

По условию задачи, радиус вписанной окружности равен одной трети одной из его высот. Без ограничения общности, предположим, что речь идет о высоте $h_a$. Таким образом, мы имеем соотношение:

$r = \frac{1}{3} h_a$

Подставим в это равенство выражения для $r$ и $h_a$, полученные из формул площади:

$\frac{S}{p} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2S}{a}$

Поскольку для любого невырожденного треугольника его площадь $S > 0$, мы можем сократить обе части уравнения на $S$:

$\frac{1}{p} = \frac{2}{3a}$

Из этой пропорции следует, что $3a = 2p$. Теперь подставим в это равенство определение полупериметра $p = \frac{a+b+c}{2}$:

$3a = 2 \cdot \frac{a+b+c}{2}$

$3a = a+b+c$

Вычтем $a$ из обеих частей уравнения, чтобы найти соотношение между сторонами:

$2a = b+c$

Полученное равенство $2a = b+c$ (которое можно переписать как $a = \frac{b+c}{2}$) является определением арифметической прогрессии для трех чисел. Оно означает, что одна из сторон треугольника ($a$) является средним арифметическим двух других сторон ($b$ и $c$). Следовательно, длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Из условия $r = \frac{1}{3}h$ (где $h$ — одна из высот) с использованием формул площади треугольника $S=pr$ и $S=\frac{1}{2}ah_a$ было выведено соотношение $2a = b+c$ (где $a$ — сторона, к которой проведена высота $h_a$), которое означает, что длины сторон треугольника $a, b, c$ образуют арифметическую прогрессию.

22.46. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания делит гипотенузу в отношении 2 : 3. Найдите стороны треугольника, если центр вписанной окружности удалён от вершины прямого угла на расстояние $ \sqrt{8} $ см.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Обозначим катеты как $a=BC$ и $b=AC$, а гипотенузу как $c=AB$.

В треугольник вписана окружность с центром $O$ и радиусом $r$. Пусть точки касания окружности со сторонами $BC$, $AC$ и $AB$ будут $F$, $E$ и $D$ соответственно.

По свойству отрезков касательных, проведенных из одной вершины к окружности, имеем:

• $AD = AE$
• $BD = BF$
• $CE = CF$

Так как $CEOF$ — это четырехугольник с тремя прямыми углами ($\angle C$, $\angle CEO$, $\angle CFO$) и равными смежными сторонами $CE=CF$ (как касательные из одной точки, или можно сказать что $OE=OF=r$), то $CEOF$ — квадрат. Следовательно, $CE = CF = r$.

По условию, точка касания $D$ делит гипотенузу $AB$ в отношении $2:3$. Пусть $AD=2x$ и $DB=3x$. Тогда длина гипотенузы $c = AD + DB = 2x + 3x = 5x$.

Выразим катеты через $x$ и $r$:

• $a = BC = BF + FC = DB + r = 3x + r$
• $b = AC = AE + EC = AD + r = 2x + r$

Применим теорему Пифагора для треугольника $ABC$: $a^2 + b^2 = c^2$.

$(3x + r)^2 + (2x + r)^2 = (5x)^2$

Раскроем скобки:

$(9x^2 + 6xr + r^2) + (4x^2 + 4xr + r^2) = 25x^2$

$13x^2 + 10xr + 2r^2 = 25x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $x$:

$12x^2 - 10xr - 2r^2 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$6x^2 - 5xr - r^2 = 0$

Решим это уравнение как квадратное относительно $x$. Дискриминант $D = (-5r)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-r^2) = 25r^2 + 24r^2 = 49r^2$.

$x = \frac{5r \pm \sqrt{49r^2}}{2 \cdot 6} = \frac{5r \pm 7r}{12}$

Так как длина отрезка $x$ должна быть положительной, выбираем корень со знаком плюс:

$x = \frac{5r + 7r}{12} = \frac{12r}{12} = r$

Таким образом, мы установили, что $x=r$.

Теперь используем второе условие задачи: расстояние от центра вписанной окружности $O$ до вершины прямого угла $C$ равно $\sqrt{8}$ см. В прямоугольной системе координат с началом в точке $C$ и осями, направленными по катетам, центр окружности $O$ будет иметь координаты $(r, r)$. Расстояние $OC$ можно найти по формуле расстояния между двумя точками или из прямоугольного треугольника $OCF$ по теореме Пифагора:

$OC^2 = OF^2 + CF^2 = r^2 + r^2 = 2r^2$

$OC = \sqrt{2r^2} = r\sqrt{2}$

По условию, $OC = \sqrt{8}$.

$r\sqrt{2} = \sqrt{8}$

$r\sqrt{2} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$

Отсюда находим $r = 2$ см.

Так как $x=r$, то $x=2$ см.

Теперь можем найти длины сторон треугольника:

• Катет $a = 3x + r = 3(2) + 2 = 6 + 2 = 8$ см.
• Катет $b = 2x + r = 2(2) + 2 = 4 + 2 = 6$ см.
• Гипотенуза $c = 5x = 5(2) = 10$ см.

Ответ: стороны треугольника равны 6 см, 8 см и 10 см.