Страница 213 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.82. Окружность, вписанная в равнобокую трапецию, делит точкой касания боковую сторону на отрезки длиной 8 см и 18 см. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD = a$, $BC = b$) и боковыми сторонами $AB$ и $CD$. По свойству равнобокой трапеции $AB = CD$.

Пусть вписанная окружность касается боковой стороны $CD$ в точке $K$. По условию, точка касания делит боковую сторону на отрезки длиной 8 см и 18 см. Пусть $CK = 8$ см и $KD = 18$ см.

Длина боковой стороны $c$ равна сумме длин этих отрезков:$c = CD = CK + KD = 8 + 18 = 26$ см.

Поскольку в трапецию можно вписать окружность, сумма ее оснований равна сумме боковых сторон:$a + b = AB + CD$Так как трапеция равнобокая, $AB = CD = 26$ см, то$a + b = 26 + 26 = 52$ см.

Высота трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности ($h = 2r$, где $r$ - радиус). Найдем радиус вписанной окружности. Пусть $O$ — центр вписанной окружности. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции. Рассмотрим треугольник $COD$. Лучи $CO$ и $DO$ являются биссектрисами углов $BCD$ и $ADC$ соответственно. Так как $BC \parallel AD$, то сумма углов при боковой стороне $\angle BCD + \angle ADC = 180^\circ$. Следовательно, сумма углов в треугольнике $COD$ при стороне $CD$ равна:$\angle OCD + \angle ODC = \frac{1}{2}\angle BCD + \frac{1}{2}\angle ADC = \frac{1}{2}(\angle BCD + \angle ADC) = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$. Это означает, что треугольник $COD$ — прямоугольный, с прямым углом $\angle COD = 90^\circ$. Отрезок $OK$ является радиусом, проведенным в точку касания, поэтому $OK \perp CD$. Таким образом, $OK$ — это высота прямоугольного треугольника $COD$, проведенная к гипотенузе $CD$. По свойству высоты в прямоугольном треугольнике, ее квадрат равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу:$r^2 = OK^2 = CK \cdot KD = 8 \cdot 18 = 144$ см$^2$. Отсюда радиус $r = \sqrt{144} = 12$ см. Высота трапеции $h$ равна диаметру окружности:$h = 2r = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$Подставим известные значения суммы оснований и высоты:$S = \frac{52}{2} \cdot 24 = 26 \cdot 24 = 624$ см$^2$.

Ответ: $624$ см$^2$.

22.83. Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию, делит точкой касания большую боковую сторону на отрезки длиной 8 см и 50 см. Найдите периметр трапеции.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$ с прямыми углами $A$ и $B$. $AB$ – меньшая боковая сторона, которая также является высотой трапеции, $CD$ – большая боковая сторона, $BC$ и $AD$ – основания. Пусть вписанная окружность касается большей боковой стороны $CD$ в точке $K$.

По условию задачи, точка касания $K$ делит сторону $CD$ на отрезки длиной 8 см и 50 см. Пусть $CK = 8$ см и $KD = 50$ см. Тогда длина всей боковой стороны $CD$ равна:$CD = CK + KD = 8 + 50 = 58$ см.

Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ на основание $AD$. Так как трапеция прямоугольная, $ABCH$ – прямоугольник, следовательно, высота $CH = AB$, а отрезок $AH = BC$. В образовавшемся прямоугольном треугольнике $CHD$ гипотенуза $CD = 58$ см, катет $CH$ равен высоте трапеции $h$, а катет $HD$ равен разности оснований: $HD = AD - AH = AD - BC$.

Воспользуемся свойством касательных к окружности, проведенных из одной точки: их длины равны. Пусть окружность касается оснований $BC$ и $AD$ в точках $M$ и $L$ соответственно. Тогда $CM = CK = 8$ см, а $DL = DK = 50$ см.

Для прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность, высота равна диаметру этой окружности ($h = 2r$), а отрезки касательных, проведенные от вершин прямых углов, равны радиусу окружности ($r$). Таким образом, мы можем выразить длины оснований через радиус:
$BC = BM + MC = r + 8$
$AD = AL + LD = r + 50$

Теперь мы можем найти длину катета $HD$ в треугольнике $CHD$:
$HD = AD - BC = (r + 50) - (r + 8) = 42$ см.

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $CHD$:
$CH^2 + HD^2 = CD^2$
$h^2 + 42^2 = 58^2$
$h^2 + 1764 = 3364$
$h^2 = 3364 - 1764 = 1600$
$h = \sqrt{1600} = 40$ см.

Таким образом, высота трапеции и ее меньшая боковая сторона $AB = h = 40$ см. Поскольку $h = 2r$, радиус вписанной окружности $r = h/2 = 40/2 = 20$ см. Теперь найдем длины оснований:
$BC = r + 8 = 20 + 8 = 28$ см
$AD = r + 50 = 20 + 50 = 70$ см.

Периметр трапеции $P$ равен сумме длин всех ее сторон:
$P = AB + BC + CD + AD = 40 + 28 + 58 + 70 = 196$ см.

Ответ: 196 см.

22.84. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, делит её большее основание на отрезки длиной 20 см и 25 см. Вычислите периметр трапеции.

Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, в которую вписана окружность. Пусть основаниями трапеции являются AD и BC, причём AD — большее основание. Пусть AB — боковая сторона, перпендикулярная основаниям, то есть $\angle A = \angle B = 90^\circ$.

Пусть окружность с центром O и радиусом $r$ касается сторон AB, BC, CD и AD в точках M, N, P и K соответственно.

По условию, точка касания K делит большее основание AD на отрезки длиной 20 см и 25 см. Длина основания AD равна $20 + 25 = 45$ см.

Рассмотрим четырёхугольник AMOK. Так как радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным, то $OM \perp AB$ и $OK \perp AD$. Поскольку $\angle A = 90^\circ$, то AMOK является прямоугольником. А так как смежные стороны OM и OK равны радиусу окружности $r$, то AMOK — квадрат. Следовательно, $AK = AM = r$.

Высота трапеции AB равна диаметру вписанной окружности, так как окружность касается обоих параллельных оснований. Таким образом, $AB = 2r$.

Возможны два случая расположения отрезков на основании AD:

1. $AK = 20$ см и $KD = 25$ см. В этом случае радиус $r = AK = 20$ см. Высота трапеции $AB = 2r = 2 \cdot 20 = 40$ см.

2. $AK = 25$ см и $KD = 20$ см. В этом случае радиус $r = AK = 25$ см. Высота трапеции $AB = 2r = 2 \cdot 25 = 50$ см.

Используем свойство касательных, проведённых из одной точки к окружности: отрезки касательных от вершины до точек касания равны.$AK = AM$, $KD = DP$, $BM = BN$, $CN = CP$. Так как BMON также является квадратом (аналогично AMOK), то $BM = BN = r$. Пусть $CN = CP = x$.

Теперь выразим длины сторон BC и CD через $r$ и $x$:$BC = BN + NC = r + x$$CD = CP + PD = x + KD$

Для нахождения $x$ проведём высоту CH из вершины C на основание AD. Получим прямоугольный треугольник CHD, где $CH = AB = 2r$ и $HD = AD - AH = AD - BC = (AK+KD) - (r+x)$. Поскольку $r=AK$, то $HD = KD - x$. По теореме Пифагора для треугольника CHD: $CH^2 + HD^2 = CD^2$.$(2r)^2 + (KD - x)^2 = (KD + x)^2$$4r^2 + KD^2 - 2 \cdot KD \cdot x + x^2 = KD^2 + 2 \cdot KD \cdot x + x^2$$4r^2 = 4 \cdot KD \cdot x$$x = \frac{r^2}{KD} = \frac{AK^2}{KD}$

Рассмотрим оба случая:

1. $AK = 20$, $KD = 25$.$x = \frac{20^2}{25} = \frac{400}{25} = 16$ см. Тогда меньшее основание $BC = r + x = 20 + 16 = 36$ см.$AD = 45$ см, $BC = 36$ см. Так как $45 > 36$, AD действительно является большим основанием. Этот случай соответствует условию задачи.

2. $AK = 25$, $KD = 20$.$x = \frac{25^2}{20} = \frac{625}{20} = 31.25$ см. Тогда основание $BC = r + x = 25 + 31.25 = 56.25$ см.$AD = 45$ см, $BC = 56.25$ см. В этом случае AD является меньшим основанием, что противоречит условию задачи.

Следовательно, верен только первый случай. Найдём длины всех сторон трапеции:$AD = 45$ см$AB = 40$ см$BC = 36$ см$CD = x + KD = 16 + 25 = 41$ см

Периметр трапеции P равен сумме длин всех её сторон:$P = AB + BC + CD + AD = 40 + 36 + 41 + 45 = 162$ см.

Также можно использовать свойство описанного четырёхугольника, согласно которому суммы длин противоположных сторон равны: $AB + CD = BC + AD$.$40 + 41 = 36 + 45 \implies 81 = 81$. Периметр $P = (AB + CD) + (BC + AD) = 81 + 81 = 162$ см.

Ответ: 162 см.

22.85. Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна произведению её оснований.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которой $AD$ и $BC$ — основания, а боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям. Обозначим длины оснований как $a$ и $b$, то есть $BC=a$ и $AD=b$. Высота трапеции $h$ равна боковой стороне $AB$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$$

Поскольку трапеция описана около окружности, для неё выполняется свойство описанного четырёхугольника: суммы длин противоположных сторон равны. $$AB + CD = BC + AD$$ Подставляя наши обозначения, получаем: $$h + CD = a + b$$ Отсюда можно выразить длину боковой стороны $CD$: $$CD = a + b - h$$

Проведём из вершины $C$ высоту $CH$ на основание $AD$. Мы получим прямоугольный треугольник $CHD$. Его стороны равны:

• $CH = AB = h$
• $HD = AD - AH = AD - BC = b - a$ (без ограничения общности, пусть $b>a$)
• $CD$ — гипотенуза

По теореме Пифагора для треугольника $CHD$: $$CD^2 = CH^2 + HD^2$$ Подставим выражения для сторон: $$CD^2 = h^2 + (b-a)^2$$

Теперь подставим в это уравнение ранее найденное выражение для $CD = a + b - h$: $$(a + b - h)^2 = h^2 + (b-a)^2$$ Раскроем скобки в обеих частях уравнения: $$(a+b)^2 - 2h(a+b) + h^2 = h^2 + (b^2 - 2ab + a^2)$$ $$a^2 + 2ab + b^2 - 2h(a+b) + h^2 = h^2 + a^2 - 2ab + b^2$$ Сократим одинаковые члены ($a^2, b^2, h^2$) в обеих частях: $$2ab - 2h(a+b) = -2ab$$ Перенесём слагаемые: $$4ab = 2h(a+b)$$ Разделим обе части на 2: $$2ab = h(a+b)$$

Теперь вернёмся к формуле площади трапеции $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$. Мы можем переписать её как $S = \frac{h(a+b)}{2}$. Из полученного нами равенства $2ab = h(a+b)$ следует, что $ab = \frac{h(a+b)}{2}$. Сравнивая два последних выражения, получаем: $$S = ab$$ Таким образом, площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, действительно равна произведению её оснований. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна произведению её оснований.

22.86. Докажите, что радиус $r$ окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, можно вычислить по формуле $r = \frac{ab}{a+b}$, где $a$ и $b$ — длины оснований трапеции.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которую вписана окружность радиуса $r$. Пусть основания $AD = a$ и $BC = b$, а боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям ($AB \perp AD$ и $AB \perp BC$).

Поскольку в трапецию вписана окружность, ее высота $h$ равна диаметру окружности. В данной прямоугольной трапеции высота равна боковой стороне $AB$. Таким образом, $h = AB = 2r$.

Воспользуемся свойством касательных, проведенных из одной точки к окружности. Пусть точки касания окружности со сторонами $AB, BC, CD, DA$ будут $P, Q, R, S$ соответственно.

Так как углы $A$ и $B$ прямые, а радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны сторонам, то четырехугольники, образованные центром окружности $O$ и точками касания (например, $APOS$), являются квадратами со стороной $r$. Следовательно, отрезки касательных от вершин $A$ и $B$ равны радиусу:
$AS = AP = r$
$BQ = BP = r$

Теперь выразим длины оснований через радиус и оставшиеся отрезки касательных:
$a = AD = AS + SD = r + SD \implies SD = a - r$.
$b = BC = BQ + QC = r + QC \implies QC = b - r$.

Длина наклонной боковой стороны $CD$ равна сумме отрезков касательных $CR$ и $DR$. По свойству касательных, длины отрезков от одной вершины до точек касания равны, поэтому $CR = QC$ и $DR = SD$.
$CD = CR + DR = (b - r) + (a - r) = a + b - 2r$.

Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. Мы получим прямоугольный треугольник $CHD$. В этом треугольнике:
1. Катет $CH$ равен высоте трапеции: $CH = AB = 2r$.
2. Катет $HD$ равен разности оснований: $HD = AD - AH = AD - BC = a - b$.
3. Гипотенуза — это наклонная сторона $CD = a + b - 2r$.

Применим теорему Пифагора для треугольника $CHD$: $CD^2 = CH^2 + HD^2$.
Подставим полученные выражения в уравнение:
$(a + b - 2r)^2 = (2r)^2 + (a - b)^2$

Раскроем скобки. Левую часть раскроем по формуле квадрата разности, а правую — по формуле квадрата разности:
$(a+b)^2 - 2 \cdot (a+b) \cdot (2r) + (2r)^2 = 4r^2 + (a-b)^2$
$(a+b)^2 - 4r(a+b) + 4r^2 = 4r^2 + (a-b)^2$

Сократим $4r^2$ в обеих частях уравнения и сгруппируем слагаемые, чтобы выразить $r$:
$(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4r(a+b)$

Применим в левой части формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$((a+b) - (a-b)) \cdot ((a+b) + (a-b)) = 4r(a+b)$
$(a+b-a+b) \cdot (a+b+a-b) = 4r(a+b)$
$(2b) \cdot (2a) = 4r(a+b)$
$4ab = 4r(a+b)$

Разделим обе части уравнения на 4:
$ab = r(a+b)$

Наконец, выразим радиус $r$:
$r = \frac{ab}{a+b}$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

22.87. В выпуклый четырёхугольник $ABCD$ можно вписать окружность.

Докажите, что окружности, вписанные в треугольники $ABC$ и $ADC$, касаются.

Поскольку в выпуклый четырёхугольник $ABCD$ можно вписать окружность, он является описанным. Для описанного четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны (согласно теореме Пито):

$AB + CD = BC + AD$

Рассмотрим диагональ $AC$, которая разделяет четырёхугольник $ABCD$ на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

Пусть $\omega_1$ — окружность, вписанная в $\triangle ABC$, и $\omega_2$ — окружность, вписанная в $\triangle ADC$. Обе эти окружности касаются их общей стороны $AC$.

Для того чтобы доказать, что окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ касаются друг друга, достаточно показать, что их точки касания со стороной $AC$ совпадают.

Пусть $T_1$ — точка касания окружности $\omega_1$ со стороной $AC$, а $T_2$ — точка касания окружности $\omega_2$ со стороной $AC$.

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности на прилежащей стороне вычисляется по формуле, использующей длины сторон треугольника.

Для $\triangle ABC$ расстояние от вершины $A$ до точки касания $T_1$ на стороне $AC$ равно:

$AT_1 = \frac{AB + AC - BC}{2}$

Для $\triangle ADC$ расстояние от вершины $A$ до точки касания $T_2$ на стороне $AC$ равно:

$AT_2 = \frac{AD + AC - DC}{2}$

Точки $T_1$ и $T_2$ совпадут, если будет выполняться равенство $AT_1 = AT_2$. Проверим это условие:

$\frac{AB + AC - BC}{2} = \frac{AD + AC - DC}{2}$

Умножим обе части равенства на 2 и вычтем из обеих частей $AC$:

$AB - BC = AD - DC$

Перенеся слагаемые, получим:

$AB + DC = AD + BC$

Это равенство является свойством описанного четырёхугольника, которое, по условию задачи, выполняется. Следовательно, равенство $AT_1 = AT_2$ верно, что означает, что точки касания $T_1$ и $T_2$ совпадают.

Пусть $T$ — их общая точка касания. Так как обе окружности касаются прямой $AC$ в одной и той же точке $T$, они касаются друг друга. Точка $T$ является их точкой касания.

Таким образом, доказано, что окружности, вписанные в треугольники $ABC$ и $ADC$, касаются.

Ответ: Утверждение доказано.

22.88. Центр окружности, описанной около трапеции, принадлежит большему основанию, а боковая сторона равна меньшему основанию. Найдите углы трапеции.

Пусть дана трапеция $ABCD$, вписанная в окружность. Любая вписанная в окружность трапеция является равнобедренной. Пусть $AD$ — большее основание, а $BC$ — меньшее. Тогда боковые стороны равны: $AB = CD$.

По условию, центр окружности $O$ принадлежит большему основанию $AD$. Это означает, что $AD$ является диаметром окружности. Следовательно, отрезки $OA, OB, OC$ и $OD$ равны радиусу $R$ этой окружности.

По условию задачи, боковая сторона равна меньшему основанию: $AB = BC$. Так как трапеция равнобедренная ($AB = CD$), то получаем, что $AB = BC = CD$.

Рассмотрим три треугольника, образованных вершинами трапеции и центром окружности: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$ и $\triangle COD$.

• В $\triangle AOB$ стороны $OA=R$ и $OB=R$.
• В $\triangle BOC$ стороны $OB=R$ и $OC=R$.
• В $\triangle COD$ стороны $OC=R$ и $OD=R$.

Поскольку $AB = BC = CD$, то треугольники $\triangle AOB$, $\triangle BOC$ и $\triangle COD$ равны по трем сторонам (у всех них стороны равны $R$, $R$ и $AB$).

Из равенства этих треугольников следует равенство их углов при вершине $O$: $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD$.

Так как центр $O$ лежит на основании $AD$, то угол $\angle AOD$ является развернутым и его величина составляет $180^\circ$. Этот угол состоит из суммы трех найденных равных углов:

$\angle AOD = \angle AOB + \angle BOC + \angle COD = 3 \cdot \angle BOC = 180^\circ$

Отсюда находим, что $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = 180^\circ / 3 = 60^\circ$.

Теперь, зная углы при центре, найдем углы трапеции.

• Треугольник $\triangle AOB$ является равнобедренным ($OA=OB=R$) с углом при вершине $60^\circ$, следовательно, он равносторонний. Все его углы равны $60^\circ$, в частности $\angle OAB = 60^\circ$ и $\angle OBA = 60^\circ$.
• Треугольник $\triangle BOC$ также является равносторонним ($OB=OC=R$, $\angle BOC=60^\circ$), поэтому $\angle OBC = 60^\circ$ и $\angle OCB = 60^\circ$.
• Треугольник $\triangle COD$ также является равносторонним ($OC=OD=R$, $\angle COD=60^\circ$), поэтому $\angle OCD = 60^\circ$ и $\angle ODC = 60^\circ$.

Углы трапеции $ABCD$ равны:

• $\angle A = \angle OAB = 60^\circ$.
• $\angle D = \angle ODC = 60^\circ$.
• $\angle B = \angle ABC = \angle OBA + \angle OBC = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$.
• $\angle C = \angle BCD = \angle OCB + \angle OCD = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: углы трапеции равны $60^\circ, 120^\circ, 120^\circ, 60^\circ$.

22.89. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне и образует с основанием трапеции угол $30^\circ$. Найдите площадь трапеции, если радиус окружности, описанной около неё, равен $R$.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD > BC$) и боковыми сторонами $AB$ и $CD$. По условию задачи диагональ $AC$ перпендикулярна боковой стороне $CD$, что означает $\angle ACD = 90^\circ$. Также известно, что диагональ $AC$ образует с большим основанием $AD$ угол $30^\circ$, то есть $\angle CAD = 30^\circ$. Вокруг трапеции описана окружность радиусом $R$.

Сначала найдем углы трапеции. Рассмотрим треугольник $ACD$. Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, можем найти угол $D$ трапеции:
$\angle D = \angle CDA = 180^\circ - \angle ACD - \angle CAD = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Поскольку трапеция $ABCD$ является равнобокой, углы при основаниях равны. Следовательно, $\angle A = \angle D = 60^\circ$, а $\angle B = \angle C = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Теперь найдем стороны трапеции. Окружность, описанная около трапеции, также является описанной окружностью для треугольника $ACD$. Применим к треугольнику $ACD$ теорему синусов, согласно которой отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности ($2R$):
$\frac{AD}{\sin(\angle ACD)} = 2R$.
Отсюда находим длину большего основания $AD$:
$AD = 2R \cdot \sin(90^\circ) = 2R \cdot 1 = 2R$.
(Это также означает, что $AD$ является диаметром описанной окружности, так как на него опирается вписанный прямой угол $\angle ACD$).

Аналогично найдем длину боковой стороны $CD$:
$\frac{CD}{\sin(\angle CAD)} = 2R \implies CD = 2R \cdot \sin(30^\circ) = 2R \cdot \frac{1}{2} = R$.
Так как трапеция равнобокая, $AB = CD = R$.

Для нахождения меньшего основания $BC$ воспользуемся свойством параллельных прямых $AD$ и $BC$. Накрест лежащие углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ равны, то есть $\angle BCA = 30^\circ$. Рассмотрим треугольник $ABC$. Угол $\angle BAC$ равен разности углов $\angle A$ и $\angle CAD$:
$\angle BAC = \angle A - \angle CAD = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ$.
В треугольнике $ABC$ два угла равны ($\angle BAC = \angle BCA = 30^\circ$), следовательно, он равнобедренный с основанием $AC$. Отсюда следует, что $BC = AB = R$.

Для вычисления площади трапеции по формуле $S = \frac{a+b}{2}h$ нам необходима высота $h$. Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. В прямоугольном треугольнике $CHD$ высота $h=CH$ является катетом, противолежащим углу $D$:
$h = CD \cdot \sin(\angle D) = R \cdot \sin(60^\circ) = \frac{R\sqrt{3}}{2}$.

Теперь, зная оба основания ($AD=2R$, $BC=R$) и высоту ($h=\frac{R\sqrt{3}}{2}$), можем найти площадь трапеции:
$S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{2R + R}{2} \cdot \frac{R\sqrt{3}}{2} = \frac{3R}{2} \cdot \frac{R\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}R^2}{4}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}R^2}{4}$.

22.90. Диагональ равнобокой трапеции является биссектрисой её острого угла и перпендикулярна боковой стороне. Найдите площадь трапеции, если её меньшее основание равно $a$.

Решение

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, где $AD > BC$. По условию, меньшее основание $BC = a$. Диагональ $AC$ является биссектрисой острого угла $BAD$ и перпендикулярна боковой стороне $CD$.

1. Рассмотрим свойства, вытекающие из того, что диагональ является биссектрисой.

Так как $AC$ — биссектриса угла $BAD$, то $\angle BAC = \angle CAD$.
Поскольку $BC \parallel AD$ (как основания трапеции), то углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ равны как накрест лежащие при секущей $AC$.
Из этих двух равенств следует, что $\angle BAC = \angle BCA$.
Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным, и его боковые стороны равны: $AB = BC$.
Так как по условию $BC = a$, то и $AB = a$.
Поскольку трапеция $ABCD$ равнобокая, ее боковые стороны равны: $CD = AB = a$.

2. Найдем углы трапеции.

По условию диагональ $AC$ перпендикулярна боковой стороне $CD$, следовательно, $\angle ACD = 90^\circ$.
Рассмотрим треугольник $ACD$. Он является прямоугольным.
Пусть $\angle CAD = \alpha$. Тогда, так как $AC$ — биссектриса, $\angle BAD = 2\alpha$.
В равнобокой трапеции углы при основании равны, поэтому $\angle CDA = \angle BAD = 2\alpha$.
Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике $ACD$ равна $90^\circ$:

$\angle CAD + \angle CDA = 90^\circ$

Подставим наши обозначения:

$\alpha + 2\alpha = 90^\circ$

$3\alpha = 90^\circ$

$\alpha = 30^\circ$

Таким образом, острые углы трапеции при большем основании равны $2\alpha = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.

3. Найдем длину большего основания и высоту трапеции.

В прямоугольном треугольнике $ACD$ нам известны угол $\angle CAD = 30^\circ$ и противолежащий ему катет $CD = a$. Большее основание $AD$ является гипотенузой этого треугольника.

$\sin(\angle CAD) = \frac{CD}{AD}$

$\sin(30^\circ) = \frac{a}{AD}$

$\frac{1}{2} = \frac{a}{AD} \implies AD = 2a$.

Теперь найдем высоту трапеции $h$. Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$. В нем гипотенуза $CD = a$ и угол $\angle CDH = \angle CDA = 60^\circ$.

$h = CH = CD \cdot \sin(\angle CDH)$

$h = a \cdot \sin(60^\circ) = a \frac{\sqrt{3}}{2}$

4. Вычислим площадь трапеции.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h$

Подставим найденные значения:

$S = \frac{a + 2a}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{3a}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}a^2}{4}$

Ответ: $S = \frac{3\sqrt{3}a^2}{4}$.

22.91. Боковые стороны и меньшее основание равнобокой трапеции равны $10 \text{ см}$, а один из её углов равен $60^\circ$. Найдите радиус окружности, описанной около данной трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причем $AD > BC$.

По условию, боковые стороны и меньшее основание равны 10 см, то есть $AB = CD = BC = 10$ см.

В равнобокой трапеции углы при основаниях равны. Так как один из углов равен $60^\circ$, это должен быть острый угол при большем основании, поскольку углы при меньшем основании тупые (их сумма с углами при большем основании равна $180^\circ$).

Следовательно, $\angle DAB = \angle CDA = 60^\circ$.

Окружность, описанная около трапеции, является также описанной окружностью для треугольника, образованного любыми тремя ее вершинами, например, для треугольника $ABD$. Найдем радиус $R$ окружности, описанной около треугольника $ABD$. Для этого нам нужно знать длину одной из его сторон и противолежащего ей угла, либо все три стороны.

1. Найдем длину большего основания $AD$.

Проведем высоту $BK$ из вершины $B$ на основание $AD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABK$.

Катет $AK$ равен: $AK = AB \cdot \cos(\angle DAB) = 10 \cdot \cos(60^\circ) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$ см.

Так как трапеция равнобокая, если провести вторую высоту $CH$, то отрезок $HD$ будет равен $AK$. $HD = 5$ см.

Отрезок $KH$ равен меньшему основанию $BC$, то есть $KH = 10$ см.

Таким образом, большее основание $AD$ равно сумме длин этих отрезков:

$AD = AK + KH + HD = 5 + 10 + 5 = 20$ см.

2. Найдем длину диагонали $BD$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. У нас известны две стороны ($AB = 10$ см, $AD = 20$ см) и угол между ними ($\angle DAB = 60^\circ$). По теореме косинусов:

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle DAB)$

$BD^2 = 10^2 + 20^2 - 2 \cdot 10 \cdot 20 \cdot \cos(60^\circ)$

$BD^2 = 100 + 400 - 400 \cdot \frac{1}{2} = 500 - 200 = 300$

$BD = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$ см.

3. Найдем радиус описанной окружности.

Способ 1: По теореме синусов.

Для треугольника $ABD$ по теореме синусов отношение стороны к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности:

$\frac{BD}{\sin(\angle DAB)} = 2R$

Отсюда $R = \frac{BD}{2 \sin(\angle DAB)}$

$R = \frac{10\sqrt{3}}{2 \sin(60^\circ)} = \frac{10\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 10$ см.

Способ 2: Через свойства прямоугольного треугольника.

Проверим, не является ли треугольник $ABD$ прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора. Его стороны равны $AB = 10$ см, $BD = 10\sqrt{3}$ см, $AD = 20$ см.

$AB^2 + BD^2 = 10^2 + (10\sqrt{3})^2 = 100 + 300 = 400$.

$AD^2 = 20^2 = 400$.

Так как $AB^2 + BD^2 = AD^2$, треугольник $ABD$ является прямоугольным с гипотенузой $AD$ и прямым углом $\angle ABD = 90^\circ$.

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы.

$R = \frac{AD}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 10 см.

22.92. Основания равнобокой трапеции равны 9 см и 21 см, а диагональ — 17 см. Найдите радиус окружности, описанной около данной трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания. По условию задачи имеем: большее основание $AD = 21$ см, меньшее основание $BC = 9$ см, диагональ $AC = 17$ см.

Окружность, описанная около трапеции, является также описанной окружностью для треугольника, образованного ее диагональю и двумя сторонами, например, для треугольника $ACD$. Таким образом, задача сводится к нахождению радиуса окружности, описанной около треугольника $ACD$.

Для нахождения радиуса воспользуемся одним из двух методов. Оба требуют нахождения высоты трапеции.

1. Нахождение высоты и боковой стороны трапеции.

Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ на основание $AD$. В равнобокой трапеции проекция боковой стороны на большее основание вычисляется по формуле:$HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{21 - 9}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$. Длина катета $AH$ равна:$AH = AD - HD = 21 - 6 = 15$ см.

По теореме Пифагора $AC^2 = AH^2 + CH^2$. Выразим высоту $CH$:$CH^2 = AC^2 - AH^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64$.$CH = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь найдем длину боковой стороны $CD$ из прямоугольного треугольника $CHD$:$CD^2 = CH^2 + HD^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$.$CD = \sqrt{100} = 10$ см.

2. Вычисление радиуса описанной окружности.

Теперь мы знаем все стороны треугольника $ACD$: $AD = 21$ см, $AC = 17$ см, $CD = 10$ см.

Способ I: Через площадь треугольника.

Радиус описанной окружности ($R$) можно найти по формуле $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника, а $S$ — его площадь.

Площадь треугольника $ACD$ с основанием $AD$ и высотой $CH$ равна:$S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot 8 = 84$ см².

Подставляем значения в формулу для радиуса:$R = \frac{AD \cdot AC \cdot CD}{4 \cdot S_{ACD}} = \frac{21 \cdot 17 \cdot 10}{4 \cdot 84} = \frac{3570}{336}$.

Сократим дробь:$R = \frac{21 \cdot 17 \cdot 10}{4 \cdot 4 \cdot 21} = \frac{17 \cdot 10}{16} = \frac{17 \cdot 5}{8} = \frac{85}{8} = 10,625$ см.

Способ II: Через теорему синусов.

Радиус описанной окружности также находится по формуле $R = \frac{a}{2\sin\alpha}$, где $a$ — сторона треугольника, а $\alpha$ — противолежащий ей угол. Для треугольника $ACD$ формула примет вид $R = \frac{AC}{2\sin(\angle D)}$.

Синус угла $D$ найдем из прямоугольного треугольника $CHD$:$\sin(\angle D) = \frac{CH}{CD} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.

Теперь вычислим радиус:$R = \frac{17}{2 \cdot \frac{4}{5}} = \frac{17}{\frac{8}{5}} = 17 \cdot \frac{5}{8} = \frac{85}{8} = 10,625$ см.

Ответ: 10,625 см.

22.93. Основания трапеции равны 15 см и 36 см, а боковые стороны – 13 см и 20 см. Найдите площадь данной трапеции.

Для нахождения площади трапеции используется формула: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ – длины оснований, а $h$ – высота трапеции.

В нашей задаче даны основания $a = 15$ см и $b = 36$ см, а также боковые стороны $c = 13$ см и $d = 20$ см. Чтобы вычислить площадь, нам необходимо найти высоту $h$.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, где $AD = 36$ см, $BC = 15$ см, и боковыми сторонами $AB = 13$ см и $CD = 20$ см. Проведем из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ на основание $AD$.

Высоты $BH$ и $CK$ равны высоте трапеции $h$. Четырехугольник $HBCK$ является прямоугольником, поэтому $HK = BC = 15$ см. Длина основания $AD$ складывается из длин отрезков $AH$, $HK$ и $KD$: $AD = AH + HK + KD$. $36 = AH + 15 + KD$. Отсюда, $AH + KD = 36 - 15 = 21$ см.

Теперь рассмотрим два прямоугольных треугольника, которые образовались: $\triangle ABH$ и $\triangle CDK$. Применим к ним теорему Пифагора: 1. В $\triangle ABH$: $AB^2 = AH^2 + BH^2 \implies 13^2 = AH^2 + h^2$. Отсюда $h^2 = 169 - AH^2$. 2. В $\triangle CDK$: $CD^2 = KD^2 + CK^2 \implies 20^2 = KD^2 + h^2$. Отсюда $h^2 = 400 - KD^2$.

Так как левые части уравнений равны ($h^2$), мы можем приравнять и правые части: $169 - AH^2 = 400 - KD^2$ $KD^2 - AH^2 = 400 - 169$ $KD^2 - AH^2 = 231$

Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$: $(KD - AH)(KD + AH) = 231$. Мы уже знаем, что $KD + AH = 21$ см, подставим это значение: $(KD - AH) \cdot 21 = 231$ $KD - AH = \frac{231}{21} = 11$ см.

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $AH$ и $KD$: $\begin{cases} KD + AH = 21 \\ KD - AH = 11 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения: $(KD + AH) + (KD - AH) = 21 + 11 \implies 2 \cdot KD = 32 \implies KD = 16$ см. Подставим значение $KD$ в первое уравнение: $16 + AH = 21 \implies AH = 5$ см.

Теперь мы можем найти высоту $h$ из любого из прямоугольных треугольников. Возьмем $\triangle ABH$: $h^2 = 169 - AH^2 = 169 - 5^2 = 169 - 25 = 144$. $h = \sqrt{144} = 12$ см.

Зная высоту, мы можем вычислить площадь трапеции: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{15 + 36}{2} \cdot 12 = \frac{51}{2} \cdot 12 = 51 \cdot 6 = 306$ см².

Ответ: 306 см².

22.94. Трапеция $ABCD$ ($BC \parallel AD$) вписана в окружность. Точка $O$ — центр этой окружности. Найдите площадь трапеции, если $AC = d$ и $\angle COD = 30^\circ$.

Поскольку трапеция $ABCD$ вписана в окружность, она является равнобедренной. Свойством равнобедренной трапеции является равенство диагоналей. По условию $AC = d$, следовательно, $BD = d$.

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно найти по формуле через его диагонали и угол между ними: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей, а $\alpha$ — угол между ними. В нашем случае $d_1 = d_2 = d$, поэтому формула для площади трапеции будет выглядеть так: $S = \frac{1}{2} d^2 \sin\alpha$. Для решения задачи нам нужно найти синус угла между диагоналями $AC$ и $BD$.

Угол $\angle COD$ является центральным углом, опирающимся на хорду $CD$. По условию $\angle COD = 30^\circ$. Величина дуги, на которую опирается центральный угол, равна градусной мере этого угла. Таким образом, градусная мера дуги $CD$ равна $30^\circ$.

Так как трапеция $ABCD$ равнобедренная, ее боковые стороны равны: $AB = CD$. Равные хорды стягивают равные дуги, следовательно, дуга $AB$ также равна $30^\circ$.

Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $P$. Рассмотрим треугольник $APD$. Угол $\angle CAD$ (или $\angle PAD$) является вписанным углом, опирающимся на дугу $CD$. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.$\angle CAD = \frac{1}{2} \text{дуги } CD = \frac{1}{2} \cdot 30^\circ = 15^\circ$.

Аналогично, угол $\angle ADB$ (или $\angle PDA$) является вписанным углом, опирающимся на дугу $AB$.$\angle ADB = \frac{1}{2} \text{дуги } AB = \frac{1}{2} \cdot 30^\circ = 15^\circ$.

Теперь мы можем найти угол $\angle APD$ в треугольнике $APD$, зная, что сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$:$\angle APD = 180^\circ - (\angle PAD + \angle PDA) = 180^\circ - (15^\circ + 15^\circ) = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.

Углом между диагоналями принято считать острый угол. Углы $\angle APD$ и $\angle CPD$ — смежные, поэтому $\angle CPD = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$. Таким образом, угол $\alpha$ между диагоналями равен $30^\circ$.(Стоит отметить, что $\sin(150^\circ) = \sin(30^\circ)$, поэтому выбор угла не влияет на результат).

Подставим найденное значение угла в формулу площади трапеции:$S = \frac{1}{2} d^2 \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} d^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{d^2}{4}$.

Ответ: $\frac{d^2}{4}$.