Номер 22.89, страница 213 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.89. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне и образует с основанием трапеции угол $30^\circ$. Найдите площадь трапеции, если радиус окружности, описанной около неё, равен $R$.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD > BC$) и боковыми сторонами $AB$ и $CD$. По условию задачи диагональ $AC$ перпендикулярна боковой стороне $CD$, что означает $\angle ACD = 90^\circ$. Также известно, что диагональ $AC$ образует с большим основанием $AD$ угол $30^\circ$, то есть $\angle CAD = 30^\circ$. Вокруг трапеции описана окружность радиусом $R$.

Сначала найдем углы трапеции. Рассмотрим треугольник $ACD$. Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, можем найти угол $D$ трапеции:
$\angle D = \angle CDA = 180^\circ - \angle ACD - \angle CAD = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Поскольку трапеция $ABCD$ является равнобокой, углы при основаниях равны. Следовательно, $\angle A = \angle D = 60^\circ$, а $\angle B = \angle C = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Теперь найдем стороны трапеции. Окружность, описанная около трапеции, также является описанной окружностью для треугольника $ACD$. Применим к треугольнику $ACD$ теорему синусов, согласно которой отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности ($2R$):
$\frac{AD}{\sin(\angle ACD)} = 2R$.
Отсюда находим длину большего основания $AD$:
$AD = 2R \cdot \sin(90^\circ) = 2R \cdot 1 = 2R$.
(Это также означает, что $AD$ является диаметром описанной окружности, так как на него опирается вписанный прямой угол $\angle ACD$).

Аналогично найдем длину боковой стороны $CD$:
$\frac{CD}{\sin(\angle CAD)} = 2R \implies CD = 2R \cdot \sin(30^\circ) = 2R \cdot \frac{1}{2} = R$.
Так как трапеция равнобокая, $AB = CD = R$.

Для нахождения меньшего основания $BC$ воспользуемся свойством параллельных прямых $AD$ и $BC$. Накрест лежащие углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ равны, то есть $\angle BCA = 30^\circ$. Рассмотрим треугольник $ABC$. Угол $\angle BAC$ равен разности углов $\angle A$ и $\angle CAD$:
$\angle BAC = \angle A - \angle CAD = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ$.
В треугольнике $ABC$ два угла равны ($\angle BAC = \angle BCA = 30^\circ$), следовательно, он равнобедренный с основанием $AC$. Отсюда следует, что $BC = AB = R$.

Для вычисления площади трапеции по формуле $S = \frac{a+b}{2}h$ нам необходима высота $h$. Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. В прямоугольном треугольнике $CHD$ высота $h=CH$ является катетом, противолежащим углу $D$:
$h = CD \cdot \sin(\angle D) = R \cdot \sin(60^\circ) = \frac{R\sqrt{3}}{2}$.

Теперь, зная оба основания ($AD=2R$, $BC=R$) и высоту ($h=\frac{R\sqrt{3}}{2}$), можем найти площадь трапеции:
$S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{2R + R}{2} \cdot \frac{R\sqrt{3}}{2} = \frac{3R}{2} \cdot \frac{R\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}R^2}{4}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}R^2}{4}$.